Τα δύο βασικά στοιχεία της διδασκαλίας των Μαθηματικών στην Κίνα

(Τα δύο βασικά)

 Εισαγωγή

Τα χιλιόμετρα χιλιομέτρων ενός ταξιδιού αρχίζουν με το πρώτο βήμα

Τα τελευταία χρόνια υπάρχει αυξημένο ενδιαφέρον από τους εκπαιδευτικούς, τους παιδαγωγούς και τα εκπαιδευτικά συστήματα του Δυτικού κόσμου για τα σχολικά Μαθηματικά των Ανατολικών Ασιατικών χωρών, καθώς και για τις πρακτικές διδασκαλίας που ακολουθούνται. Η απόκτηση ηγετικής θέσης στις διεθνείς αξιολογήσεις των μαθητών των χωρών της Ανατολικής Ασίας, αλλά και η προσπάθεια των Βρετανών εκπαιδευτικών να εισάγουν στο εκπαιδευτικό τους σύστημα ιδέες και πρακτικές διδασκαλίας από το εκπαιδευτικό σύστημα της Σαγκάη, είναι χαρακτηριστικά παραδείγματα. (βλέπε στις αναφορές - πηγές: Shanghai Maths Project κ.ά.).

• Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των σχολικών Μαθηματικών των χωρών αυτών;  
• Γιατί οι πρακτικές διδασκαλίας των Μαθηματικών των χωρών αυτών, ενδιαφέρουν τον δυτικό κόσμο;

    Το άρθρο επιχειρεί να ανιχνεύσει απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα, φωτίζοντας ένα από βασικά χαρακτηριστικά της διδασκαλίας των κινέζικών μαθηματικών, "τα δύο βασικά", και παράλληλα να εμπλουτίσει τις αντιλήψεις και τις εμπειρίες των αναγνωστών του για την διδασκαλία των Μαθηματικών και να δώσει αφορμή για ατομικές και ομαδικές συγκρίσεις.

Η αρχή "τα δύο βασικά"

Το άρθρο των Tang, H., et all. (2012), διαπραγματεύεται μια από τις αρχές της κινέζικης διδασκαλίας των Μαθηματικών, τα "δύο βασικά",  που αφορά τις γνώσεις και τις δεξιότητες των Μαθηματικών.
   Ως βασικές γνώσεις των Μαθηματικών αναφέρονται οι μαθηματικές έννοιες, οι κανόνες, οι τύποι, τα αξιώματα, τα θεωρήματα και οι ενσωματωμένες μαθηματικές ιδέες και μέθοδοι.
   Ως βασικές δεξιότητες των Μαθηματικών αναφέρονται ο υπολογισμός, η επεξεργασία δεδομένων, η κοινή συλλογιστική και η σχεδίαση πινάκων, διαγραμμάτων και σχημάτων που ακολουθούν συγκεκριμένες διαδικασίες.
   Η βασική γνώση αποκτάται κυρίως μέσω της απομνημόνευσης και της κατανόησης, ενώ οι βασικές δεξιότητες αποκτώνται κυρίως μέσω της πρακτικής και της εξάσκησης. Με βάση αυτές τις ιδέες, η διδασκαλία βασίζεται σε εκπαιδευτικές δραστηριότητες εξάσκησης και στοχεύουν στο να βοηθήσουν τους μαθητές να κατανοήσουν τις βασικές γνώσεις και να τις εφαρμόζουν στη λύση προβλημάτων.

 Ιστορικές ρίζες και κοινωνικό περιβάλλον 

 

(Η μάθηση πρέπει να πραγματοποιείται συστηματικά και προοδευτικά σύμφωνα με τη λογική δομή της γνώσης και το γνωστικό επίπεδο των μαθητών)

Οι Κινέζοι εκπαιδευτικοί των Μαθηματικών για πολλές δεκαετίες πίστευαν και εξακολουθούν να πιστεύουν ότι η μαθηματική εκπαίδευση στις μικρές ηλικίες είναι θεμελιώδης και αναγκαία για την ατομική ανάπτυξη και την δημιουργικότητα των ανθρώπων. Και αυτή επιτυγχάνεται με την συνεχή εξάσκηση και την πρακτική άσκηση.Οι πεποιθήσεις αυτές συμβαδίζουν με την κινέζικη κουλτούρα που εκτός των άλλων έχει κοινωνική και ιστορική προέλευση.

    Οι Zhang S. et all., (2004)  αναφέρουν μερικούς παράγοντες που διαμόρφωσαν αυτές τις πεποιθήσεις. 

•  Η Κίνα είναι μια χώρα όπου ο αρχαίος πολιτισμός εξακολουθεί να έχει συνεχή παρουσία. 
• Ιστορικά, η γεωργική καλλιέργεια απαίτησε την ανάπτυξη υψηλού επιπέδου αποτελεσματικών τεχνικών, δεδομένης της μικρής καλλιεργήσιμης έκτασης που αντιστοιχούσε σε κάθε αγρότη. 
• Ο Κομφουκιανισμός, για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα, υποστήριξε ένα κοινωνικό σύστημα, όπου η υπακοή στον αυτοκράτορα ήταν καθολική απαίτηση. Έτσι, η διαδικασία της μάθησης βασίστηκε στην ομοιομορφία του διδακτικού περιεχομένου και στις ανελαστικές εκπαιδευτικές απαιτήσεις που ήταν το κύριο χαρακτηριστικό του εκπαιδευτικού συστήματος. Μερικά παραδείγματα:
• Ο Κομφούκιος (551 π.Χ. ~ 479 π.Χ.) δήλωνε ότι οι μαθητές θα πρέπει να έχουν συνεχή επιμονή στην μάθηση και ότι η ανασκόπηση της προηγούμενης γνώσης μπορεί να βοηθήσει στην απόκτηση νέων γνώσεων.
• Οι ερμηνευτές του Κομφούκιου δήλωναν ότι είναι απαραίτητο να ασκείται κανείς συχνά και να επανεξετάζει τις γνώσεις και τις δεξιότητες που αποκτά. Αυτή είναι η αρχή στην μάθηση.  
•  Ένα ιστορικό παράδειγμα για την σπουδαιότητα της εξάσκησης και της πρακτικής εφαρμογής, αναφέρεται στο βιβλίο, Algorithm tong variable recommendations, ο Yang Hui (杨辉, περίπου 1127-1279). Ο συγγραφέας διατείνεται ότι ο υπολογισμός των τετραγωνικών ριζών είναι μια σύνθετη αλγοριθμική μέθοδος και ότι οι μαθητές πρέπει να μάθουν τη μέθοδο σε μια μέρα, να κάνουν εξάσκηση για δύο μήνες, και στη συνέχεια να αναζητήσουν τους τρόπους εφαρμογής της μεθόδου.

• Η εξάσκηση είναι απαραίτητη για να οδηγήσει στην επιτυχία και στη επάρκεια. Μέσω της εξάσκησης μπορεί κανείς να αποκτήσει μαθηματικές γνώσεις και στην μαθηματικές ικανότητες.
•  Στο μυαλό των Κινέζων είναι ριζωμένη η αντίληψη ότι οι εξετάσεις μπορούν να καθορίσουν τη ζωή κάποιου πολίτη. Το σύστημα των ενιαίων εξετάσεων στην Κίνα, που μπορεί να ανιχνευθεί από το έτος 597 μ.Χ., έδινε την δυνατότητα, ακόμη και σε ένα χωρικό, να μπορεί να γίνει κυβερνητικός αξιωματούχος αν καταφέρει να περάσει αυτές τις εξετάσεις.

  

Οι στόχοι της διδασκαλίας "τα δύο βασικά"

 

 Οι Tang, H., et all. (2012) αναφέρουν ότι η αρχή της διδασκαλίας "τα δύο βασικά" έκανε την εμφάνισή της με την ίδρυση της Λαϊκής Δημοκρατίας της Κίνας το 1949 και άρχισε να διαμορφώνεται σταδιακά στις περιόδους που ακολούθησαν. Στο ενοποιημένο και υποχρεωτικό πρόγραμμα σπουδών που εφαρμόστηκε σε εθνικό επίπεδο, σε κάθε ιστορική περίοδο η έμφαση στην αρχή "τα δύο βασικά" δόθηκε για να εξυπηρετεί τους στόχους της απόκτησης βασικών επιστημονικών γνώσεων και δεξιοτήτων για τους πολίτες της Κίνας. Στα προγράμματα σπουδών των Μαθηματικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και στις οδηγίες του Υπουργείου Παιδείας, για παράδειγμα, του 1963, του 1986 και του 2001, αναφέρονται ρητά ότι στόχοι της διδασκαλίας είναι να βοηθήσουν τους μαθητές να κατανοήσουν πλήρως τις βασικές γνώσεις της άλγεβρας, της δισδιάστατης γεωμετρίας, της τρισδιάστατης γεωμετρίας, της τριγωνομετρίας και της αναλυτικής γεωμετρίας, και να τους εξοπλίσουν με την ικανότητα να υπολογίζουν σωστά και γρήγορα, να κάνουν λογικούς συλλογισμούς και να νοούν χωρικά, ώστε να ανταποκρίνονται στις απαιτήσεις της εργασίας και της περαιτέρω μελέτης. Για να εξασφαλιστεί ότι κατέχουν πλήρως τις βασικές γνώσεις, τις βασικές ικανότητες και τις χωρικές αντιλήψεις, ώστε να μπορούν να τις εφαρμόζουν με ευελιξία, η πρακτική εξάσκηση θα πρέπει να ενισχυθεί αποτελεσματικά.

   Πιο αναλυτικά οι βασικοί στόχοι της διδασκαλίας στο πλαίσιο της αρχής "τα δύο βασικά", μπορούν να περιγραφούν ως εξής:

•  Γρήγορη και ακριβής εκτέλεση των πράξεων της αριθμητικής μεταξύ ακεραίων, δεκαδικών και κλασμάτων.
•  Γρήγορος και ακριβής χειρισμός των πολυωνυμικών εκφράσεων, των αλγεβρικών κλασμάτων, των εκθετικών και άρρητων εκφράσεων και η απομνημόνευση των σχετικών κανόνων. Για παράδειγμα, η ικανότητα επιτυχούς ολοκλήρωσης είκοσι (20) ερωτήσεων παραγοντοποίησης και συμπλήρωσης τετραγώνου μέσα σε δέκα (10) λεπτά, είναι η ελάχιστη απαίτηση για την μετάβαση στην άλλη τάξη. 
• Ακριβής απομνημόνευση των ορισμών και των τύπων των αλγεβρικών εκφράσεων, του τύπου των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, του ορισμού και των ιδιοτήτων των καμπυλών δεύτερης τάξης, των τριγωνομετρικών τύπων, των τύπων αλλαγής της βάσης του λογαρίθμου κ.λ.π., με σκοπό να μπορούν να ανταποκρίνονται με ταχύτητα στους χειρισμούς και στους υπολογισμούς για τις εισαγωγικές εξετάσεις στην επόμενη βαθμίδα. 
• Λογική και τυπική έκφραση των μαθηματικών εννοιών και συνειδητοποίηση της λογικής ακρίβειας των κατηγοριοποιήσεων των μαθηματικών αντικειμένων και της διατύπωσης των μαθηματικών προτάσεων.
• Διαδικασία λύσης προβλημάτων με αυστηρούς λογικούς κανόνες και επαρκή συλλογιστική και έκφραση με σαφή και τυπικό τρόπο.
• Εξοικείωση με τα πρότυπα λύσεων. Απομνημόνευση βασικών μοτίβων λύσεων και χρησιμοποίηση σε σχετικά παρόμοια προβλήματα. Για παράδειγμα, στις εισαγωγικές εξετάσεις του 2003, υπήρχαν είκοσι τρεις ερωτήσεις για εκατόν είκοσι λεπτά. Οι υποψήφιοι είχαν κατά μέσο όρο πέντε λεπτά και είκοσι δευτερόλεπτα για κάθε ερώτηση. Η ταχύτητα στις απαντήσεις παίζει πρωτεύοντα ρόλο.

   Οι παραπάνω στόχοι καθόρισαν εν πολύς και τα χαρακτηριστικά της διδασκαλίας, που ήταν τα εξής:

• Η διδασκαλία πρέπει να είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική. Ένα από τα κριτήρια αξιολόγησης είναι η ικανότητα  του εκπαιδευτικού να ολοκληρώνει με επιτυχία τους στόχους που έχουν προκαθοριστεί κεντρικά.
• Η διδασκαλία πρέπει να υπηρετεί την επιλογή «διδάσκω μόνο τα ουσιώδη και εξασφαλίζω άφθονη πρακτική εξάσκηση». Η βαθύτερη κατανόηση εξασφαλίζεται με την συνεχή εξάσκηση. Για παράδειγμα, για  την έννοια του αρνητικού αριθμού, ο εκπαιδευτικός μπορεί αρχικά να τονίσει ότι ο πολλαπλασιασμός θετικού αριθμού με το -1 δίνει ως αποτέλεσμα τον αντίθετό του ενώ οι μαθητές θα κατακτήσουν την έννοια σταδιακά και όσο περισσότερο ασκούνται στις πράξεις. Άρα, χρειάζεται να εξοικονομηθεί χρόνος για περισσότερη πρακτική άσκηση. 
• Τις τελευταίες δεκαετίες προτείνεται ένας διακριτός τρόπος διδασκαλίας των μαθηματικών στην Κίνα, που ονομάζεται «διδασκαλία με παραλλαγές (teaching with variation)» και μπορεί να βελτιώσει την μάθηση στο πλαίσιο της αρχή "τα δύο βασικά". Για παράδειγμα, αντί για αρκετή εξάσκηση στον πολλαπλασιασμό 3ψηφίων αριθμών, ο εκπαιδευτικός μπορεί να προτείνει διαφορετικές παραλλαγές (στρατηγικές) π.χ. του πολλαπλασιασμού 123x456, ώστε οι μαθητές του να κατανοήσουν την διαδικασία αυτή από διαφορετικές οπτικές.

    Ακόμα, στην τελευταία αναθεώρηση του προγράμματος σπουδών, παρόλο που η φιλοσοφία της μάθησης και της διδασκαλίας αναπροσαρμόστηκε για να υπηρετήσει τις ανάγκες της ταχείας ανάπτυξης της Κινέζικης οικονομίας και της απαίτησης για ανάπτυξη καινοτόμων πρακτικών, η αρχή τα "τα δύο βασικά" εμπλουτίστηκε και αναπροσαρμόστηκε.  Έτσι οι στόχοι του αναπροσαρμοσμένου προγράμματος σπουδών απέκτησαν πλέον τρεις διαστάσεις (1) απαίτηση για βασικές γνώσεις και ικανότητες, (2) έμφαση στις διεργασίες και στις στρατηγικές (μεθόδους) λύσης προβλήματος και (3) ανάπτυξη θετικών συναισθημάτων, στάσεων και συστημάτων αξίας για τα Μαθηματικά. Το περιεχόμενο της διδασκαλίας απλουστεύθηκε, τα περίπλοκα και δύσκολα θέματα αφαιρέθηκαν, ενώ προστέθηκαν σύγχρονα θέματα που ικανοποιούν τις απαιτήσεις της πραγματικής ζωής. Ως προς τις μεθόδους διδασκαλίας, πλέον ενθαρρύνονται οι πολλαπλές μέθοδοι μάθησης, όπως η μάθησης με βάση την έρευνα, η συνεργατικής μάθησης κ.λ.π.  Αν και οι δύο τελευταίες διαστάσεις δηλώνουν τον εκσυγχρονισμό (δυτικοποίηση) της εκπαίδευσης των Μαθηματικών, η αρχή "τα δύο βασικά" παραμένει σε ισχύ.

Ένα παράδειγμα εφαρμογής της αρχής "δύο βασικά".  Η περίπτωση του Πυθαγορείου θεωρήματος (The Gougu Theorem)  

 

Στο άρθρο των Tang, H., et all. (2012) αναλύεται η διδασκαλία του Πυθαγορείου θεωρήματος, στο πλαίσιο της αρχής "δύο βασικά" σε τρεις περιόδους, την δεκαετία 1950 - 1960, την δεκαετία 1980 - 1990 και στις αρχές του 21ου αιώνα. Εδώ παρουσιάζουμε την τελευταία εκδοχή, στο πλαίσιο του αναπροσαρμοσμένου αναλυτικού προγράμματος σπουδών των Μαθηματικών.
   Η διδασκαλία του Πυθαγορείου θεωρήματος οργανώθηκε σε πέντε στάδια (φάσεις), τα οποία συγκρότησαν μια βήμα προς βήμα καθοδηγούμενη διδασκαλία.

   Στάδιο 1: Υπολογίστε το εμβαδόν. Στους μαθητές δόθηκε, σε φύλλο εργασίας, ένα πλαγιαστό τετράγωνο σε τετραγωνισμένο χαρτί (παρακάτω σχήμα) και τους ζητήθηκε να υπολογίσουν το εμβαδόν του με την μέθοδο κοπή και επανατοποθέτηση (cut and paste) και με μονάδα το τετραγωνίδιο του πλέγματος.

    Η μέθοδος υπολογισμού με κοπή και επανατοποθέτηση βοήθησε τους μαθητές να υπολογίσουν το εμβαδόν του τετραγώνου και τους προετοίμασε για το δεύτερο στάδιο.

Στάδιο 2: Κάντε εικασίες.
Στους μαθητές δόθηκε ένα νέο φύλλο εργασίας, και τους ζητήθηκε να ερευνήσουν τη σχέση μεταξύ των κάθετων πλευρών και της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου στα τέσσερα παρακάτω σχήματα.

  Για κάθε σχήμα, οι μαθητές είχαν να υπολογίσουν τα a², b², 2ab και c², όπου a, b είναι τα μήκη των κάθετων πλευρών και c της υποτείνουσας, και να συμπληρώσουν ένα σχετικό πίνακα, ώστε να διευκολυνθούν στην ανάπτυξη εικασιών. Οι μαθητές, έκαναν δύο εικασίες:  a²+ b² =  c²  και 2ab+1=c². Στη συνέχεια κλήθηκαν να επαληθεύσουν τις εικασίες τους σχεδιάζοντας νέα σχήματα στο τετραγωνισμένο χαρτί. Οι μαθητές, με τα νέα παραδείγματα, απέρριψαν την δεύτερη εικασία. Αυτό στάθηκε αφορμή να συζητηθεί στην τάξη η ανάγκη για την απόδειξη της εικασίας.

Στάδιο 3: Αιτιολόγηση των εικασιών.  Οι μαθητές κλήθηκαν να αιτιολογήσουν τις εικασίες τους, για ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές a, b και υποτείνουσα c, και να παρουσιάσουν στην τάξη τις διάφορες αποδείξεις τους. Με βάση αυτές ο εκπαιδευτικός παρουσίασε εν συντομία την ιστορία ανάπτυξης του θεωρήματος στους διάφορους πολιτισμούς Ανατολής και Δύσης, παρουσίασε ένα σχετικό ιστότοπο και ενθάρρυνε τους μαθητές να διερευνήσουν περαιτέρω το θεώρημα.

Στάδιο 4: Πολλαπλές αποδείξεις.  Οι μαθητές κλήθηκαν να χρησιμοποιήσουν μια δραστηριότητα παζλ για να αποδείξουν το θεώρημα. Συγκεκριμένα τους δόθηκε το παρακάτω σχήμα και τους ζητήθηκε να κόψουν τα πέντε σχήματα του (a) και να μεταφερθούν στο σχήμα (b) ώστε να το γεμίσουν. Στη συνέχεια κλήθηκαν να υπολογίσουν το εμβαδόν κάθε ενός από τα 6 σχήματα και να επαληθεύσουν έτσι το θεώρημα.   

Οι μαθητές ανέπτυξαν δύο τρόπους, όπως στο παρακάτω σχήμα.

Στάδιο 5: Ανακεφαλαίωση του μαθήματος. Οι μαθητές ενθαρρύνθηκαν να εκφράσουν αυτό που έμαθαν, ενώ ο δάσκαλος συνόψισε τα βασικά σημεία.

Η παραπάνω διδασκαλία στηρίχτηκε στις εξής αρχές.

• Επιδιώχθηκε η απόκτηση της βασικής γνώσης της απόδειξης του Πυθαγορείου θεωρήματος με την μέθοδο cut and paste. 
• Επιδιώχθηκε η ανάπτυξη ικανοτήτων διεξαγωγής μαθηματικών πειραμάτων και εξερεύνησης μαθηματικών σχέσεων. 
• Τα 5 στάδια της διδασκαλίας αφορούσαν, την ανασκόπηση προηγούμενων γνώσεων, την κατασκευή εικασιών, την επαλήθευση εικασιών, την διερεύνηση πολλαπλών αποδείξεων και την ανακεφαλαίωση του μαθήματος.
• Οι εκπαιδευτικές δραστηριότητες που προσδιορίστηκαν, βασίστηκαν στην αρχή "τα δύο βασικά", ενώ παράλληλα τονίστηκε η ανακάλυψη και η απόδειξη και δόθηκε έμφαση στη μάθηση μέσω της έρευνας.  
• Η διδασκαλία έδωσε έμφαση και κεντρικό ρόλο στους μαθητές ενώ ο δάσκαλος παρέσχε κυρίως τα υλικά (φύλλα εργασίας), οργάνωσε το μάθημα και διευκόλυνε τη μάθηση των μαθητών. Αυτή η θέση  αντικατοπτρίζει την σημερινή τάση της αρχής "τα δύο βασικά" στην Κίνα, η οποία δίνει έμφαση τόσο στην χρήση της αρχής τα "δύο βασικά" όσο και στην ανάπτυξη της καινοτόμου  ικανότητας των μαθητών.
• Τέλος, η διδασκαλία βασίστηκε και στην άλλη εκδοχή των κινέζικων πρακτικών της διδασκαλίας των Μαθηματικών, στην διδασκαλία με παραλλαγές.   

  Σχόλια

 

•  Η ψηφιακή εκδοχή του παραπάνω παζλ.

Οπτική απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος

Στην παρακάτω εφαρμογή μπορείτε να μετακινείτε τα 4 τρίγωνα με το ένα σημείο και με το άλλο να τα περιστρέφετε.

Μπορείτε να επαληθεύσετε την οπτική απόδειξη που παρουσιάστηκε παραπάνω;

•  Μια σύγχρονη διδακτική πρόταση για το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορείτε να βρείτε εδώ.  
• Η σε βάθος κατανόηση των βασικών μαθηματικών εννοιών και η ανάπτυξη μαθηματικών ικανοτήτων, είναι η βασική επιδίωξη σχεδόν όλων των εκπαιδευτικών προγραμμάτων των Μαθηματικών, καθώς αποτελούν ένα από τα κύρια εργαλεία ανάπτυξης των παιδιών.  Ωστόσο η κινέζικη άποψη με τον τίτλο "τα δύο βασικά" έχει την ιδιαιτερότητα ότι αποτέλεσε την κύρια έκφραση του εκπαιδευτικού προγράμματος κεντρικά, για πολλά χρόνια, με αποτέλεσμα να δοθεί υπερβολική έμφαση στις ασκήσεις και στην πρακτική εξάσκηση.  
• Η εξέλιξη των κοινωνιών και ιδιαίτερα αυτές της δύσης άρχισαν να επηρεάζουν και την κινέζικη πρακτική στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Για παράδειγμα, στο άρθρο των Tang, H., et all. (2012), όπου η απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος παρουσιάζεται σε τρεις διαφορετικές περιόδους, η εξέλιξη είναι εμφανής:
• 1957: Πριν από αυτό το μάθημα, οι μαθητές μελέτησαν το θεώρημα και μία μέθοδο απόδειξης, χρησιμοποιώντας την ομοιότητα των τριγώνων. Στη συνέχεια ο εκπαιδευτικός έκανε την εξής ερώτηση στους μαθητές του. Υπάρχουν δύο τετράγωνα με πλευρές μήκους 3 και 4 μονάδων αντίστοιχα. Να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών αυτών των δύο τετραγώνων;  Το μάθημα περιελάμβανε τις εξής φάσεις διδασκαλίας: παρουσίαση προβλήματος, ανασκόπηση προηγουμένων γνώσεων, εισαγωγή νέου περιεχομένου, πρακτική στερεοποίησης της γνώσης και ανάθεση άσκησης. 
• 1984:  Η διδασκαλία του θεωρήματος ακολουθεί την εξής δομή: έλεγχος των προηγούμενων γνώσεων, ανάπτυξη μιας εικασίας, απόδειξη της εικασίας,
  σταθεροποίηση της γνώσης και πρακτική άσκηση.  Χρησιμοποιήθηκε το εξής πρόβλημα: Στο παρακάτω σχήμα, ποια είναι η σχέση μεταξύ του εμβαδού του εσωτερικού τετραγώνου και των δύο πλευρών του εξωτερικού τετραγώνου, δηλαδή η σχέση μεταξύ S και a, b;

• Σήμερα  υπάρχει εμφανής η τάση για εκσυγχρονισμό στη διδασκαλία των Μαθηματικών, καθώς αυτή εμπλουτίζεται με διάφορες μεθόδους, μειώνοντας την έμφαση στην εξάσκηση και στην πρακτική , δίνοντας έμφαση στην κατανόηση και σε στρατηγικές λύσης προβλήματος και μετασχηματίζοντας την διδασκαλία από δασκαλοκεντρική σε μαθητοκεντρική.
• Η στροφή στην δυτικοποίηση της διδασκαλίας των Μαθηματικών είναι επίσης εμφανής, καθώς δίνεται πλέον έμφαση και στην μάθηση με παραλλαγές (teaching with variation), ώστε να βοηθήσουν τους μαθητές να αναπτύξουν βαθύτερη κατανόηση των βασικών μαθηματικών εννοιών και να τους καταστήσουν ικανούς να αναπτύσσουν καινοτόμες στρατηγικές στη λύση προβλημάτων και λαμβάνοντας υπόψη τον ρόλο των στάσεων των μαθητών απέναντι στα Μαθηματικά.

 

Αναφορές και Πηγές για περαιτέρω ενασχόληση:

 

1.  Shanghai Maths Project: https://collins.co.uk/pages/primary-mathematics-the-shanghai-maths-project, [2]: https://schoolsweek.co.uk/what-is-south-asian-mastery-maths/ , [3]: http://www.chinadaily.com.cn/china/2017-03/17/content_28587696.htm, [4]: http://www.asiaone.com/world/uk-schools-use-shanghai-math-textbooks 
2. Tang R., et. all. (2012), Characterisitcs of “two basics” teaching in secondary mathematics classrooms in China. In Y. Li & R. Huang (Eds.), How Chinese teach mathematics and improve teaching (pp. 29–43). New York: Routledge, Taylor and Francis.
3. Zhang D. et all.  (2004), The "Two Basics": Mathematics Teaching and Learning in Mainland China. In Fan L., Wong N.,  Cai J., Li S. (eds), How Chinese learn Mathematics, Perspectives from Insiders, World Scientific Publishing Co. Re. Ltd.
4. Σύντομη παρουσίαση του "Two Basics" (διαθέσιμο script του βίντεο) : https://www.futurelearn.com/courses/asian-maths-teaching-methods/0/steps/38716   
5.   Looking at the Two Basics in depth: https://www.futurelearn.com/courses/asian-maths-teaching-methods/0/steps/38718
6.  L. Wang et al. (2017). Chinese Mathematics Curriculum Reform in the 21st Century: A Review, EURASIA Journal of Mathematics Science and Technology Education 13(8):5311-5326
7.  Secondary Grade Chinese Classroom:https://www.youtube.com/watch?v=JznmibQAet8
8. πρόβλημα για variation: https://www.youtube.com/watch?v=xnE_sO7PbBs
9. A Chinese 5th Grader Solved This In Just 1 Minute! HARD Geometry Problem: https://www.youtube.com/watch?v=OuJQaxZvlYs
10.  Year 4 Singapore Maths Model Lesson: Measuring Area: https://www.youtube.com/watch?v=67Bd_UVsfTU
11. Can You Solve This 6th Grade Geometry Problem From Singapore? https://www.youtube.com/watch?v=B_yNI3gAHNk

κγ