Για τις αλγεβρικές εκφράσεις

Μελέτη περίπτωσης

1. Εισαγωγή

Στο άρθρο περιγράφονται μερικές πτυχές της Άλγεβρας που πρέπει να έχει υπόψη του κάποιος εκπαιδευτικός που πρόκειται να διδάξει τις αλγεβρικές παραστάσεις (εκφράσεις) πριν αρχίσει να διδάσκει για μονώνυμα, πολυώνυμα, ταυτότητες, παραγοντοποίηση κτλ.


   Η Άλγεβρα, ως γνωστόν, εκφράζει και μελετά σχέσεις μεταξύ αριθμών και ποσοτήτων. Το κύριο μέσο για την μελέτη αυτών είναι τα αλγεβρικά σύμβολα ([1], [2], [3]), οι αλγεβρικές εκφράσεις ([1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8]) και οι αλγεβρικοί συλλογισμοί ([1], [2], [3], [4]).
   Για τους μαθητές, είναι σημαντικό να κατανοούνται τρία αυτά χαρακτηριστικά, να τα χειρίζονται και ν' αποδίδουν κατάλληλα νοήματα γι' αυτά. 

   Για τους εκπαιδευτικούς είναι σημαντικό να γνωρίζουν τις ιδιαίτερες πτυχές των χαρακτηριστικών αυτών, για τις δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές, αλλά και για τις διδακτικές δυνατότητες που προσφέρονται στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού μας πολιτισμού.
   Στο άρθρο αναφερόμαστε σε ορισμένες πτυχές των αλγεβρικών συμβόλων και των αλγεβρικών εκφράσεων, κυρίως από την πλευρά του εκπαιδευτικού που καλείται να διδάξει την σχολική Άλγεβρα. 

2.  Οι αλγεβρικές εκφράσεις 

Αλγεβρικές εκφράσεις θεωρούνται οι εκφράσεις που δημιουργούνται με αριθμούς, γράμματα και πράξεις μεταξύ αυτών (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, δύναμη, ρίζα), υπακούουν σε συμβάσεις. Π.χ.  2α², χ²+ψ², $\sqrt{α}-1$, α(α-2β)-3α, κτλ, και περιγράφουν σχέσεις.Για παράδειγμα, η έκφραση "ο πατέρας είναι κατά 20 cm ψηλότερος του υιού του" μπορεί να περιγραφεί αλγεβρικά "αν χ το ύψος του υιού, του πατέρα είναι χ+20". Η εξίσωση 2χ-1> χ+2 περιγράφει την ανισότητα δύο εκφράσεων και αναζητείται ο άγνωστος αριθμός που την επαληθεύει. Η σχέση  3(χ+2)=3χ+6 περιγράφει μια ισότητα που επαληθεύεται για κάθε τιμή του γράμματος χ, καθώς επαληθεύει μια γενική ιδιότητα των πράξεων, την επιμεριστική.
  Ακόμα, τα γράμματα που χρησιμοποιούνται στις αλγεβρικές εκφράσεις έχουν διαφορετικούς ρόλους. Άλλοτε είναι άγνωστοι, άλλοτε μεταβλητές, άλλοτε σταθερές και άλλοτε παράμετροι. Το ίδιο ισχύει και για το σημείο της ισότητας καθώς έχει διαφορετικό νόημα στην Άλγεβρα (εκφράζει μια σχέση μεταξύ εκφράσεων) σε σχέση με την Αριθμητική (εκφράζει το αποτέλεσμα της πράξης).
  Η μη αναγνώριση της φύσης των γραμμάτων και των σημείων που χρησιμοποιούνται στις αλγεβρικές εκφράσεις, καθώς δεν είναι πάντα διακριτή και δεν συσχετίζονται πάντοτε, με σαφή τρόπο, με τις αριθμητικές αντιλήψεις των μαθητών, είναι πηγή παρανοήσεων και δυσκολιών.

3. Οι συμβολισμοί, οι συμβάσεις και οι λειτουργίες 

Στην αντίληψή μου τα μαθηματικά σύμβολα και σημεία χαρακτηρίζονται από το ίδιο το σύμβολο, από το αντικείμενο που συμβολίζουν και από την ερμηνεία που δίνει ο χρήστης του. Κατά τον C. S. Peirce κάθε σημείο (sign) αναφέρεται σε μια τριαδική σχέση, S :sign, O :object, I :interpretant, όπου το interpretant αναφέρεται σε αυτό που κατασκευάζει κάποιος στο μυαλό του με το σημείο, στο νόημα δηλαδή. Για παράδειγμα, το γράμμα χ πολλές φορές, ενώ συμβολίζει ένα διαφορετικό αντικείμενο, από τους μαθητές ερμηνεύεται ως άγνωστος εξίσωσης, καθώς αυτός ο ρόλος του αποδίδεται συνήθως στη σχολική τάξη.     

   Στη σχολική Άλγεβρα έχει ιδιαίτερη σημασία, οι μαθητές, να αποδίδουν κάθε φορά το κατάλληλο νόημα στα αλγεβρικά σύμβολα, στις συμβάσεις (αφορούν κυρίως την σύνταξη των αλγεβρικών εκφράσεων) και στις λειτουργίες (πράξεις, εξισώσεις κτλ) και οι εκπαιδευτικοί με την διδασκαλία τους να διευκολύνουν τους μαθητές να αναπτύσσουν τα σωστά νοήματα.  

•  Το νόημα των γραμμάτων και των σημείων

  Στο Key understandings in mathematics learning η A. Watson περιγράφει πως ερμηνεύουν και χρησιμοποιούν οι μαθητές τα γράμματα και τα σημεία. Όπως αναφέρει, τα γράμματα και τα σημεία, ανάλογα με το πλαίσιο στο οποίο εργάζονται οι μαθητές:

• Προσπαθούν να τα ερμηνεύσουν χρησιμοποιώντας άσχετες πληροφορίες.
• Τα χρησιμοποιούν ως συντομογραφίες για αντικείμενα, π.χ. μ = μήλο, υ=ύψος.
• Τα αντιμετωπίζουν ως αντικείμενα, π.χ. ως στοιχεία της αλφαβήτου που κατέχουν συγκεκριμένη θέση σε αυτή και έτσι αντιστοιχίζουν σε αυτόν ένα συγκεκριμένο αριθμό.
• Χρησιμοποιούν ένα γράμμα ως ειδικό άγνωστο.
• Χρησιμοποιούν ένα γράμμα ως γενικευμένο αριθμό.
• Χρησιμοποιούν ένα γράμμα ως μεταβλητή.

   Συχνά, όταν δεν αποδίδεται κάποιο νοητικό περιεχόμενο στα σύμβολα και στα σημεία μιας  αλγεβρικής έκφρασης οδηγεί τους μαθητές σε σύγχυση με αποτέλεσμα, για παράδειγμα, να θεωρούν ότι στην ίδια έκφραση διαφορετικά γράμματα αναπαριστούν πάντοτε διαφορετικούς αριθμούς, ή ότι ένα γράμμα μπορεί να αναπαριστά διαφορετικούς αριθμούς στην ίδια έκφραση και ότι το ίδιο γράμμα δεν πρέπει να αναπαριστά τον ίδιο αριθμό στις διαφορετικές εκφράσεις.

   Σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο λοιπόν τα σύμβολα αποκτούν συγκεκριμένο νόημα. Για παράδειγμα, στην έκφραση Ε=πρ², τα γράμματα Ε, και ρ είναι μεταβλητές και συμβολίζουν το εμβαδόν και την ακτίνα ενός οποιουδήποτε κύκλου, ενώ το γράμμα  π είναι η σταθερά π=3,14... [1]. Στην περίπτωση αυτή το γράμμα ρ συμβολίζει μια ανεξάρτητη μεταβλητή που μπορεί να πάρει θετικές τιμές και το Ε μια εξαρτημένη μεταβλητή. Στην ερώτηση "αν Ε=2 πόσο είναι το ρ", διαμορφώνεται η έκφραση 2=4ρ² όπου πλέον ο ρ συμβολίζει ένα άγνωστο αριθμό και όχι μια μεταβλητή. 

Συμπερασματικά:

•  Τα γράμματα και τα σημεία πρέπει, σε κάθε διδακτική πρόταση, να πλαισιώνονται κατάλληλα ώστε να μπορεί να τους αποδίδεται νόημα από τους μαθητές.
• Οι αλγεβρικές εκφράσεις πρέπει να δηλώνουν διαφανείς σχέσεις μεταξύ ποσοτήτων και αριθμών.

 

•  Το νόημα άλλων συμβόλων

Αν και τα λεκτικά σύμβολα κυριαρχούν στην αλγεβρική διαπραγμάτευση, δεν είναι λίγες οι φορές που κάποιο άλλο σύμβολο αντικαθιστά το λεκτικό. Μερικοί ερευνητές θεωρούν ότι κάποια άλλα αντικείμενα μπορούν να αποτελέσουν ένα εναλλακτικό τρόπο αναπαράστασης των συμβόλων. Για παράδειγμα η T. Rozano (Rojano, T. (1996). Developing algebraic aspects of problem solving within a spreadsheet environment. In N. Bednarz, C. Kieran, & L. Lee (Eds.), Approaches to algebra: Perspectives for research and teaching (pp. 137-146). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic) θεωρεί ότι τα κελιά ενός υπολογιστικού φύλλου μπορούν να αναπαραστήσουν τον άγνωστο ενός προβλήματος καθώς και τις σχέσεις που περιγράφονται σε αυτό.

 Τα ορθογώνια και τετράγωνα με πλευρές 1 ή χ εκφράζουν γεωμετρικά την αλγεβρική σχέση χ²+6χ+8 ή την ισοδύναμή της (χ+2)·(χ+4).

 Η δενδροειδής αναπαράσταση της σχέσης $\frac{a}{b+d}+\frac{a²-d²}{2}$ 

    Στο περιβάλλον που ακολουθεί το πρόβλημα (από το άρθρο της Rozano) ζητά να βρεθούν οι διαστάσεις του ορθογωνίου, όταν η μια είναι τετραπλάσια της άλλης ώστε να έχει συγκεκριμένη περίμετρο (280 μέτρα).  Η χρήση του υπολογιστικού φύλλου απαιτεί (1) να οριστεί το κελί Α3 ως άγνωστος, το κελί Β3 να εκφράζει τη σχέση μεταξύ μήκους και πλάτους (Β3=4Α3) και το κελί C3 να εκφράζει την περίμετρο του ορθογωνίου (C3=2A3+2B3). Οι σχέσεις αυτές δηλώνονται στη δεύτερη γραμμή του φύλλου. Αυτό που αναμένεται από τους μαθητές είναι να εισάγουν τιμές στο κελί Α3 - μέσω του δρομέα "πλάτος" και να παρατηρούν το αποτέλεσμα στα άλλα κελιά. 

     Σύμφωνα με την Τ. Rozano, οι στρατηγικές για τη λύση ενός προβλήματος χαρακτηρίζονται ως "αλγεβρικές" όταν χρησιμοποιούν τον άγνωστο του προβλήματος ως γνωστό και ως "μη-αλγεβρικές", όταν χρησιμοποιούν τους γνωστούς για να οδηγηθούν στον άγνωστο. Στην περίπτωση του συγκεκριμένου προβλήματος οι δύο στρατηγικές θα μπορούσαν να περιγραφούν ως εξής:
Αλγεβρική προσέγγιση: Έστω χ το πλάτος ...
Μη αλγεβρική προσέγγιση : Αν το πλάτος είναι 10 το μήκος θα είναι 40 και η περίμετρος 100. Άρα  δεν είναι το πλάτος 10. Αν…
Η χρήση του λογιστικού φύλλου και των κελιών του δημιουργεί μια κατάσταση, όπου αφενός εκφράζονται οι σχέσεις αλγεβρικά και αφετέρου οι μαθητές μπορούν να κάνουν δοκιμές και να απορρίπτουν τις τιμές που εισάγουν. Το νόημα που αποδίδουν οι μαθητές σε αυτούς τους συμβολισμούς είναι πιο ρεαλιστικό, καθώς λειτουργούν ως πλαίσια πειραματισμού και έκφρασης των σχέσεων.

Συμπερασματικά:

• Τα κελιά ή άλλες αναπαραστάσεις ίσως λειτουργούν καλύτερα καθώς είναι πιο διαφανείς και βοηθούν τους μαθητές να αναπτύσσουν νοήματα με τις απαιτήσεις των αλγεβρικών εκφράσεων. 
• Οι  εκπαιδευτικοί πρέπει να φέρνουν σε επαφή τους μαθητές με διάφορες αναπαραστάσεις των αλγεβρικών σχέσεων και να τους βοηθούν να περνούν από αυτές στις αλγεβρικές.

• Οι συμβάσεις (conventions)  και οι λειτουργίες (operations)

Όπως αναφέρθηκε μια από τις πηγές δυσκολιών στη μάθηση της Άλγεβρας οφείλεται στο πέρασμα σε αυτήν από την Αριθμητική και στο γεγονός ότι δεν έχουν δώσει το κατάλληλο νόημα στις αλγεβρικές συμβάσεις ([1], [2], [3]). Μια αλγεβρική σύμβαση είναι μια συμφωνία για τον τρόπο αναπαράστασης των αριθμών και των πράξεων στις αλγεβρικές εκφράσεις. Μερικές από τις πιο σημαντικές συμβάσεις είναι οι εξής:   

1.  Στο γινόμενο ενός αριθμού με ένα γράμμα το σημείο της πράξης παραλείπεται. Π.χ
   2xα = 2α ή 2·α=2α.
2.   Στο γινόμενο αριθμού με γράμμα ο αριθμός γράφεται πρώτος.Π.χ. 2α και όχι α2.
3.  Για το γινόμενο ενός γράμματος με ένα άλλο δεν χρησιμοποιείται το σημείο της πράξης. Π.χ.
   αβ και όχι αxβ ή α·β.
4.  Για τη διαίρεση χρησιμοποιείται το σύμβολο του κλάσματος. Π.χ.  Αντί α:β γράφουμε $\frac{α}{β}$.
5.  Οι παρενθέσεις χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν μια προτεραιότητα στις πράξεις μεταξύ γραμμάτων. Π.χ.για την πράξη αβγ:5 γράφουμε $αβ\frac{γ}{5}$. Για την πράξη (αβγ):5γράφουμε $\frac{αβγ}{5}$. Οι εκφράσεις α·β+γ και α·(β+γ) εκφράζουν διαφορετική διαδικασία πράξεων. Στην πρώτη ο α πολ/ζει το β ενώ στη δεύτερη ο α πολ/ζει τον β+γ.

Συμπερασματικά:

• Οι συμβάσεις και οι λειτουργίες είναι σημαντικά στοιχεία για την νοηματοδότηση των αλγεβρικών εκφράσεων. 
• Λόγω της σύνδεσής τους με τις αριθμητικές εκφράσεις, οι συμβάσεις οι εκπαιδευτικοί είναι απαραίτητο να τις νοηματοδουτούν πρώτα στο αριθμητικό πλαίσιο με κατάλληλα παραδείγματα και μετά να περνούν στο αλγεβρικό πλαίσιο. 

 

3.  Η αλγεβρική έκφραση των γενικεύσεων

Συχνά, οι αλγεβρικές εκφράσεις εκφράζουν γενικεύσεις αριθμητικών ιδιοτήτων ή αριθμητικών σχέσεων.
   Η λεκτική έκφραση, "οι τιμές των καταναλωτικών αγαθών αυξήθηκαν κατά 3%" είναι μια γενική λεκτική έκφραση που αναφέρεται σε μια μεγάλη κατηγορία αντικειμένων. Για να εκφραστεί αλγεβρικά, πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένα γράμμα που να συμβολίζει την αρχική τιμή οποιουδήποτε αγαθού, π.χ. "τ", (με τιμές από 0 έως την μέγιστη τιμή προϊόντων), να εκφραστεί η αύξηση π.χ. (3/100)τ ή 0.03τ και εν συνεχεία η νέα τιμή, τ+0.03τ ή 1.03τ. Στην περίπτωση αυτή η αλγεβρική έκφραση "1.03τ", εκφράζει γενικά, την τελική τιμή ενός αγαθού, όταν η αρχική του τιμή είναι τ.

   Για την αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, οι μαθητές, εκκινώντας από απλές αριθμητικές εφαρμογές, (2+3=3+2), για  όλες τις κατηγορίες αριθμών, δημιουργούν σταδιακά μια συνθήκη γενικής ισχύος (άτυπη επαγωγή) που πρέπει να εκφραστεί με κάποιο τρόπο. Έτσι, η έκφραση των αριθμών, που εμπλέκονται στην έκφραση, με ένα συμβολικό τρόπο, που περικλείει την γενικότητα που σημαίνει να μην εκφράζεται το είδος τους και το μέγεθός τους. Μια καλή ιδέα θα μπορούσε να είναι η σταδιακή έκφραση με οικείες λέξεις όπως

αριθμός1 + αριθμός2 = αριθμός2 + αριθμός1 ή συντομογραφικά
αρθ1 + αρθ2 = αρθ2 + αρθ1 ή
α1 + α2 = α2 + α1 ή πιο γενικά
α+β = β+α

  Σε άλλες περιπτώσεις οι μαθητές μπορούν να ανακαλύπτουν σχέσεις μεταξύ αριθμών και χρειάζεται να διατυπωθεί μια γενίκευσή τους. Για παράδειγμα, το γινόμενο 7·8 μπορεί να γραφεί και ως 7·7+7. Αυτή η ισότητα  7·8= 7·7+7 ισχύει για όλους τους ακέραιους αριθμούς και χρειάζεται να εκφραστεί γενικότερα. Η χρήση των γραμμάτων ως ακέραιοι αριθμοί βοηθούν σε αυτή την κατεύθυνση,  α·(β+1)=α·β+α και δηλώνουν εύγλωττα την δομή της σχέσης, αρκεί τα α και β να συμβολίζουν ακέραιους αριθμούς.    

 Τα μοτίβα είναι επίσης παραδείγματα γενίκευσης και έκφρασης σχέσεων.

   Δραστηριότητα 1

Στην εφαρμογή που ακολουθεί, ο χρήστης καλείται να βρει πόσα τετράγωνα τραπέζια των 4 ατόμων χρειάζονται για να ενωθούν σε μια σειρά και να φιλοξενήσουν ν άτομα.
    Στο περιβάλλον "Τραπέζια της παρέας", μπορεί κάποιος να τοποθετεί τραπέζια στη σειρά με το δεύτερο εργαλείο, επιλέγοντας για κάθε τραπέζι δύο διαδοχικά σημεία του πλέγματος. Στη συνέχεια με το επόμενο εργαλείο επιλέγει τα άκρα μιας πλευράς του τραπεζιού  και τοποθετεί ένα σημείο κόκκινο που αναπαριστά ένα άνθρωπο.

Οι δραστηριότητες των μαθητών

• Οι μαθητές καλούνται να σχεδιάσουν τρία  τραπέζια στη σειρά και να τοποθετήσουν τους ανθρώπους σε κάθε πλευρά τους. Στη συνέχεια καλούνται σε ένα φύλλο χαρτί να καταγράψουν τους ανθρώπους που μπορούν να καθίσουν σε μια σειρά από 1 ή 2 ή 3 ή 4 τραπέζια.
• Στη συνέχεια καλούνται να βρουν πόσοι μπορούν να καθίσουν σε 20 τραπέζια στη σειρά.
• Τέλος καλούνται να βρουν και να εκφράσουν πόσοι άνθρωποι μπορούν να καθίσουν σε ν τραπέζια.   

   Στην πρώτη δραστηριότητα, οι μαθητές καταμετρούν το πλήθος των ανθρώπων. Στην δεύτερη δραστηριότητα καλούνται να κάνουν υπολογισμούς, αφού είναι αδύνατο να σχεδιάσουν 20 τραπέζια. Γι' αυτό θα χρειαστεί να σκεφτούν κάποιους τρόπους υπολογισμού. Π.χ. Να σκεφτούν ότι σε κάθε τραπέζι κάθονται 2 άνθρωποι εκτός από το πρώτο και το τελευταίο που κάθονται επιπλέον ακόμα 2. Άρα στα 20 τραπέζια μπορούν να καθίσουν 2x20+2 = 42 άνθρωποι. Η τελευταία δραστηριότητα τους εμπλέκει σε μια διαδικασία γενίκευσης των συμπερασμάτων που έβγαλαν από την προηγούμενη δραστηριότητα. Δηλαδή στα ν τραπέζια θα καθίσουν 2ν+2 άνθρωποι.  

  Συμπερασματικά:

• Οι εκπαιδευτικοί πρέπει να δίνουν ευκαιρίες στους μαθητές να κάνουν γενικεύσεις και να τις εκφράζουν αλγεβρικά. Οι αριθμητικές σχέσεις και τα μοτίβα είναι κατάλληλα περιβάλλοντα και διευκολύνουν το ομαλό πέρασμα από την Αριθμητική στην Άλγεβρα.  

.

  4.  Η δυαδικότητα των αλγεβρικών εκφράσεων.

Στα μαθηματικά τα αντικείμενα διαπραγμάτευσης είναι διαδικασίες (αλγόριθμοι), έννοιες και  συλλογισμοί.
   Μια σειρά από ερευνητές της διδακτικής των Μαθηματικών έχουν εκφραστεί για την δυαδικότητα των μαθηματικών αντικειμένων. Η Α. Sfard υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά αντικείμενα μπορούν να θεωρηθούν είτε ως διαδικασίες είτε ως παράγωγα αυτών, αρκεί αυτά να μπορούν να νοηθούν ως αυτοτελείς οντότητες. Άλλοι ερευνητές έχουν προτείνει την διάκριση διαδικασία - έννοια, όπως οι Gray & Tall, (1994),ή  τη διάκριση διαδικασία- δομή (Kieran, C. 1992. The learning and teaching of school algebra. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 390–419). New York, NY: Macmillan), ή την θεωρία APOS (Dubinsky, 1991).
  Οι δραστηριότητες με τις αλγεβρικές εκφράσεις, στις οποίες εμπλέκονται οι μαθητές, αναφέρονται στην δυαδικότητα. 

1. Στον υπολογισμός της αριθμητικής τιμής των αλγεβρικών εκφράσεων οι μαθητές εμπλέκονται με την διαδικασία των πράξεων. Δηλαδή, βιώνουν την  διαδικασία των πράξεων που εκφράζεται με την αλγεβρική έκφραση. 
2. Κατά την εκτέλεση πράξεων και μετασχηματισμών των αλγεβρικών εκφράσεων οι μαθητές βιώνουν επίσης την διαδικασία με την οποία εκφράζεται η αλγεβρική έκφραση. 
3. Η κατηγοριοποίηση των αλγεβρικών εκφράσεων  (μονώνυμα, πολυώνυμα, ρητές, άρρητες, βαθμός, κτλ) υποχρεώνει τους μαθητές να τις αντιμετωπίζουν ως αντικείμενα.

Συμπερασματικά:

• Για τους εκπαιδευτικούς που διδάσκουν την σχολική Άλγεβρα, η διάκριση της δυαδικότητας των αλγεβρικών εκφράσεων πρέπει να είναι μια ακόμα παράμετρος του εκπαιδευτικού τους σχεδιασμού. Μπορούν να συμπεριλάβουν τις ιδέες της δυαδικότητας στην εκπαιδευτική τους ατζέντα και να καθοδηγήσουν τους μαθητές τους να εμπλακούν και με τις δύο πλευρές της.

5. Οι αλγεβρικές εκφράσεις ως αντικείμενα

 

Είναι γνωστό, ότι στο πλαίσιο της διδασκαλίας και μάθησης των αλγεβρικών εκφράσεων, τα προγράμματα σπουδών ταξινομούν τις διάφορες κατηγορίες των αλγεβρικών εκφράσεων με τρόπο που αναδεικνύει την δομή τους. Δηλαδή, μελετούν με τη σειρά τα μονώνυμα, μετά τα πολυώνυμα και τέλος τις ρητές και άρρητες εκφράσεις. Στη συνέχεια οι πράξεις και οι σχέσεις μεταξύ των αλγεβρικών εκφράσεων ολοκληρώνουν κατά κάποιο τρόπο την θεωρία των αλγεβρικών εκφράσεων.

 Μονώνυμα:   2α³, -0.4α²β⁴,...
 Πολυώνυμα: 2χ⁴+ψ⁵, ...

 Ρητές εκφράσεις: $\frac{2χ^{2}-ψ^{2}-1}{χ^{2}-ψ^{2}}$, ...

 Άρρητες εκφράσεις: $\sqrt[3]{2χ^{2}-1}$, ...

   Η κατηγοριοποίηση των αλγεβρικών εκφράσεων (π.χ. όμοια και ανόμοια μονώνυμα ή ομογενή πολυώνυμα) εξυπηρετεί κυρίως την ανάπτυξη μιας θεωρίας για πιο συστηματική μελέτη των αλγεβρικών εκφράσεων. Οι βασικές πράξεις της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης οριοθετούνται με κανόνες που εμπλέκουν τον βαθμό μονωνύμων και πολυωνύμων και τις βασικές ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική, επιμεριστική κτλ). Οι πράξεις και οι ιδιότητες αυτών συνδέουν βαθύτερα τις αλγεβρικές εκφράσεις με την αριθμητική.

• Οι αλγεβρικές εκφράσεις ως συναρτήσεις 

Συχνά, βρισκόμαστε μπροστά στο ερώτημα, αν θα πρέπει, κάθε φορά που διαπραγματευόμαστε μια αλγεβρική έκφραση, να εξετάζουμε και το πεδίο ορισμού της. Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα συγκροτείται από τα εξής δεδομένα.
   Στα προγράμματα σπουδών της σχολικής άλγεβρας, οι αλγεβρικές εκφράσεις συνοδεύονται σχεδόν πάντοτε με την εύρεση της αριθμητικής τους τιμή για τις διάφορες τιμές των γραμμάτων της. Σε αυτή την περίπτωση τα γράμματα εννοούνται ως γενικοί αριθμοί ή ως μεταβλητές.

   Η εύρεση της αριθμητικής τιμής μιας αλγεβρικής έκφρασης συνήθως παρουσιάζεται σύμφωνα με  την εξής διαδικασία:

     (1) εισάγονται αριθμητικές τιμές που αντικαθιστούν τα γράμματα, 

     (2) εκτελούνται πράξεις, όπως καθορίζονται από την αλγεβρική έκφραση και 

     (3) εξάγεται η αριθμητική της τιμή.

  Η διαδικασία αυτή μπορεί να επαναλαμβάνεται πολλές φορές  και έτσι οι αλγεβρικές εκφράσεις λειτουργούν ως function machines ([1], [2], [3], [4], [5]). Από αυτή την προοπτική, οι αλγεβρικές εκφράσεις συμπεριφέρονται ως συναρτήσεις, με ανεξάρτητες μεταβλητές τα γράμματα που δεν είναι παράμετροι ή αναπαριστούν σταθερές. Επομένως οι αλγεβρικές εκφράσεις επιδέχονται πεδίου ορισμού για τις μεταβλητές της.

Αλγεβρική έκφραση	Σταθερές	Μεταβλητές	Πεδίο ορισμού
3χ3-2χ+1	-	χ	R
2παβ-πα2	π	α, β	α,β∈R
$\frac{2χ^{2}-ψ^{2}-1}{x^{2}-ψ^{2}}$	-	χ, ψ	χ,ψ∈R, χ≠±ψ

Δραστηριότητα 2

Στην εφαρμογή που ακολουθεί, η τετμημένη του σημείου Α εισάγει μια αριθμητική τιμή στο γράμμα χ της αλγεβρικής έκφρασης $\sqrt{4-χ^{2}}$

• Καθώς οι μαθητές μετακινούν το σημείο Α, μεταβάλλουν την τετμημένη του και αυτή με τη σειρά της μεταβάλει την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης. Γιατί, το σημείο Β άλλοτε εξαφανίζεται και άλλοτε όχι;
• Πότε εξαφανίζεται;
• Που οφείλεται αυτό;
• Ποιο είναι το εύρος μεταβολών του γράμματος χ στην αλγεβρική έκφραση;

Ανάλογα με το πλαίσιο συζήτησης και το ερώτημα, όταν τα γράμματα συμβολίζουν μεταβλητές ή γενικούς αριθμούς πάντοτε συνοδεύονται και με το εύρος των μεταβολών τους ή το πεδίο από το οποίο αντλούν τιμές. Το ίδιο ισχύει και όταν αναπαριστούν αγνώστους αριθμούς. Αυτοί πρέπει να ανήκουν επίσης στο πεδίο ορισμού της έκφρασης.

 Συμπερασματικά:

• Οι αλγεβρικές εκφράσεις έχουν πεδίο ορισμού. Οι εκπαιδευτικοί είναι απαραίτητο να το εμπλέκουν στις διαπραγματεύσεις που κάνουν με τους μαθητές τους και τις αλγεβρικές εκφράσεις.

 

5. Η έννοια της ισότητας των αλγεβρικών εκφράσεων

  

Ένα ζήτημα που αφορά στις αλγεβρικές εκφράσεις είναι το σύμβολο της ισότητας. Όπως αναφέρεται στο Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally (John A. Van de Walle) έρευνες από την δεκαετία του 70 μέχρι και στις μέρες μας δείχνουν ότι το σύμβολο της ισότητας είναι ελάχιστα κατανοητό από τους μαθητές.  
  Στην Αριθμητική έχει το νόημα να αποδίδει σε μια πράξη το αποτέλεσμα.  3+4 = 7. Ακόμα, έχει το νόημα να εκφράζει ένα αριθμό με μια αριθμητική παράσταση ή μια αριθμητική παράσταση με μία άλλη. 12-3·2 = 6 ή 12-3·2 = 4+ 2·5 -2. Φυσικά, χρησιμοποιείται για να εκφράσει ιδιότητες των αριθμών (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική - α·(β+γ)=α·β+α·γ).
  Στην Άλγεβρα οι δυσκολίες αφενός προέρχονται από την Αριθμητική και αφετέρου από το γεγονός ότι με αυτό εκφράζονται ισοδύναμες αλγεβρικές εκφράσεις ( [1], [2], [3], [4] , [5], [6]) . Ιδιαίτερα στις εξισώσεις η διαδικασία επίλυσης απαιτεί τον μετασχηματισμό των αλγεβρικών εκφράσεων έτσι ώστε να διατηρείται η ισοδυναμία.

• Ισοδύναμες αλγεβρικές εκφράσεις

   Στο άρθρο των Kieran, C., & Sfard, A. [(1999). Seeing through symbols: The case of equivalent expressions. Focus on Learning Problems in Mathematics, 21(1), 1-17], διατυπώνεται το εξής ερώτημα:  

   Τι θα πρέπει να μας απαντήσει κάποιος για να μας πείσει ότι κατανοεί την έννοια της ισότητας 3(x+2) = 3x+6;

    Θα μπορούσε κάποιος να μας απαντήσει ότι η ισότητα των δύο αλγεβρικών εκφράσεων συμβολίζει μια ιδιότητα των αριθμών, την επιμεριστική ιδιότητα α·(β+γ)=α·β+α·γ.  Ωστόσο όπως παρατηρούν οι ερευνητές του άρθρου, τέτοιες εξηγήσεις δύσκολα δίνονται από τους μαθητές καθώς η σύνδεση ιδιοτήτων της αριθμητικής (αντιμεταθετική, προσεταιριστική και επιμεριστική) με την Άλγεβρα δεν είναι τόσο διαφανής. Και αιτία γι' αυτό είναι οι μη σαφείς αναπαραστάσεις και η δυσκολία να δοθεί νόημα στους αλγεβρικούς χειρισμούς και στις αλγεβρικές συμβάσεις. Ή καλύτερα, οι μαθητές, ενώ μαθαίνουν να χειρίζονται τα σύμβολα και τις συμβάσεις, δύσκολα βλέπουν το μαθηματικό αντικείμενο που αυτά συμβολίζουν. 

   Οι συγγραφείς του άρθρου προτείνουν την χρήση περιβαλλόντων ή προβλημάτων στα οποία οι μαθητές μπορούν να δώσουν νόημα στις εκφράσεις τους και να διερευνήσουν την ισοδυναμία τους.

   Μια τέτοια εκδοχή είναι η χρήση λεκτικών προβλημάτων. Διατυπώνεται ένα πρόβλημα, ζητείται η αλγεβρική έκφραση της σχέσης που περιγράφει καθώς και η εύρεση ή ο έλεγχος μιας ισοδύναμης έκφρασης.

Παράδειγμα: Η Νίκη αγόρασε δύο ίδιες συσκευασίες αυτοκόλλητα και 6 μονά.
Μπορείτε να γράψετε μια αλγεβρική έκφραση που να αναπαριστά το σύνολο των αυτοκόλλητων που αγόρασε, χρησιμοποιώντας το γράμμα χ; Είναι η έκφρασή σας ισοδύναμη με την έκφραση 2(χ+3);

   Οι μαθητές αναμένεται να ονομάσουν χ το πλήθος των αυτοκόλλητων κάθε συσκευασίας και να εκφράσουν το συνολικό πλήθος με την έκφραση 2χ+6. Ακόμα μπορούν να δώσουν νόημα στην έκφραση 2(χ+3) καθώς μπορούν να σχηματίσουν δύο ομάδες ίσου πλήθους με αυτά.  

  Η ψηφιακή τεχνολογία προσφέρει και άλλες δυνατότητες για την απόδοση νοήματος.

Δραστηριότητα 3

  Στην εφαρμογή που ακολουθεί, αναπαριστώνται δύο εκφράσεις υπό μορφή συναρτήσεων, η 3(χ+2) και η 3χ+α, όπου α η τιμή του δρομέα (α ως παράμετρος). Ζητείται από τους μαθητές να ερευνήσουν για ποια τιμή του α οι δύο εκφράσεις είναι ισοδύναμες. 

 

  Οι παραστάσεις θα είναι ισοδύναμες όταν οι γραφικές τους παραστάσεις ταυτίζονται ή όταν για κάθε τιμή του γράμματος χ (οι τιμές του χ εισάγονται από το σημείο Α) οι δύο εκφράσεις έχουν την ίδια αριθμητική τιμή. Στην περίπτωση αυτή αν και δεν είναι εφικτό να δοκιμάσει κάποιος όλες τις τιμές του γράμματος αναπτύσσει κάποια καλή εικασία με τις πολλές δοκιμές. Όμως ο έλεγχος των αριθμητικών τιμών μπορεί να βεβαιώσει αν οι δύο εκφράσεις δεν είναι ισοδύναμες.
   Ωστόσο, αυτό που συνήθως διδάσκεται είναι η απόδειξη της ισοδυναμίας δύο αλγεβρικών εκφράσεων που έχουν διατυπωθεί και όχι η δημιουργία μιας απλούστερης της δεδομένης έκφρασης μέσω μετασχηματισμού της. 

• Μετασχηματισμοί αλγεβρικών εκφράσεων 

Ένα πρόβλημα που μπορεί να δοθεί στους μαθητές, υπό μορφή ιστορίας, και να αφορά τον μετασχηματισμό μιας έκφρασης είναι το εξής: 

---

Ζητήθηκε από τους μαθητές να εκφράσουν την περίμετρο του παρακάτω ορθογωνίου

• O μαθητής A έγραψε: Περίμετρος = 3χ-1+3χ-1+6+6
• Ο μαθητής Β έγραψε: Περίμετρος = 2(3χ-1)+12
• Ο μαθητής Γ έγραψε: Περίμετρος = 6χ+10

Μπορείτε να ελέγξετε αν οι τρεις εκφράσεις είναι ισοδύναμες; 
Μπορείτε να εξηγήσετε την απάντησή σας; 

---

   Προφανώς η παράσταση   3χ-1+3χ-1+6+6 έχει μετασχηματιστεί στην παράσταση 6χ+10 εφαρμόζοντας την ιδιότητα 3χ+3χ=6χ. Επίσης η παράσταση 2(3χ-1)+12 έχει μετασχηματιστεί στην παράσταση 6χ+10 εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα 2(3χ-1) = 6χ-2.
   Αυτές οι διαδικασίες μετασχηματίζουν μια αλγεβρική έκφραση σε μια άλλη, ισοδύναμη με αυτή.

   Οι ιδιότητες των πράξεων και οι ταυτότητες αυτό τον ρόλο έχουν. Να μετασχηματίζουν μια έκφραση σε μια άλλη ισοδύναμη.

   Το κύριο αλγεβρικό πρόβλημα είναι ο μετασχηματισμός μιας έκφρασης με μια απλούστερη αλλά ισοδύναμη με αυτή.

Τελικά.
Η διδασκαλία των αλγεβρικών σχέσεων πρέπει να εστιάζει στα θέματα που εκτέθηκαν σε αυτό το άρθρο. Στους μαθητές πρέπει να δίνεται η δυνατότητα να εμπλέκονται σε δραστηριότητες που να μπορούν να δίνουν νόημα στα αλγεβρικά σύμβολα και στις αλγεβρικές συμβάσεις. Η ισοδυναμία των αλγεβρικών εκφράσεων είναι ένα καλό εργαλείο για τον μετασχηματισμό μιας αλγεβρικής έκφρασης, και για την λύση των εξισώσεων.  

κγ