Για την περιοδική μεταβολή

Διδακτική πρόταση

Γνωστικό αντικείμενο: Περιοδικές μεταβολές
Μάθημα:Άλγεβρα	Τάξη: Β Λυκείου	Χρόνος:  Μια διδακτική ώρα
Το θέμα: Μπορείτε να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται η απόσταση του κάδου από την επιφάνεια του νερού καθώς κινείται τον υδραυλικό τροχό γύρω από τον άξονά του;
Οδηγίες:  Η εφαρμογή προσομοιώνει τον υδραυλικό τροχό των Αρχαίων Ελλήνων για την μεταφορά νερού (http://www.metafysiko.gr/forum/showthread.php?t=7395&page=2) που  χρησιμοποιείται και στη σημερινή εποχή. Στην προσομοίωση ο άξονας περιστροφής είναι στην επιφάνεια του νερού. Η θέση του κάδου καθορίζεται ως προς το τόξο που ορίζει με αρχή το σημείο Β ή την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία και ως προς την τιμή του ΚΜ σε σχέση με την επιφάνεια του νερού (θετική πάνω, αρνητική κάτω). Στην προσομοίωση μπορείτε: 1.  Να πληκτρολογήσετε την τιμή της γωνίας για να ορίσετε τη θέση του κάδου στον τροχό (τιμές από 0ο έως κ*360ο, κ η τιμή του δρομέα «κ». Μπορείτε με δεξί κλικ πάνω στον δρομέα α να επιλέξτε «Ιδιότητες» και στο παράθυρο που θα προκύψει να επιλέξετε το διάστημα μεταβολών). Να μετακινείτε τον δρομέα «α» για να καθορίσετε τη θέση του κάδου στον τροχό.  2.  Να πατήσετε το βέλος στην κάτω αριστερή γωνία για να κάνετε τον τροχό να περιστρέφεται αυτόματα. 3.  Να επιλέξετε το πλήθος των περιστροφών του τροχού με την βοήθεια του δρομέα «κ». 4.  Να εγγράψετε στο υπολογιστικό φύλλο την τιμή της γωνίας και την αντίστοιχη τιμή του ΚΜ. 5.  Να επιλέξτε με δεξί κλικ πάνω στο δρομέα «α» και να ορίσετε «Εγγραφή στο υπολογιστικό φύλλο». Στο παράθυρο που θα ανοίξει επιλέξτε “Πλήθος γραμμών» ίσο με 360 επί την τιμή του δρομέα «κ».  Το ίδιο να κάνετε και για την απόσταση «ΚΜ» επιλέγοντας την απόσταση.
Πειράματα και διερευνήσεις. 1. Στο κουτί εισαγωγής πληκτρολογήστε την τιμή 30ο.  Ποια τιμή έχει το ΚΜ; Σε ποια άλλη θέση θα έχει την ίδια τιμή;  Ποια γωνία πρέπει να πληκτρολογήσετε για τη θέση αυτή; Επαναλάβατε το πείραμα και για τιμές της γωνίας. Μπορείτε να επαναλάβετε το πείραμα για αντίθετες τιμές του ΚΜ;      •  Μπορείτε να διατυπώσετε τη σχέση που έχουν οι γωνίες για ίδιες ή αντίθετες τιμές          του ΚΜ; 2. Σύρετε τον δρομέα «α» από την αρχή μέχρι το τέλος και παρατηρήστε την μεταβολή του ύψους του κάδου από την επιφάνεια του νερού.       •  Μπορείτε να περιγράψετε την μεταβολή του ύψους καθώς μεταβάλετε την θέση           του στον τροχό; 3.  Επιλέξτε να κάνετε εγγραφή της τιμής του δρομέα α και της απόστασης του κάδου στο υπολογιστικό φύλλο σύμφωνα με τις οδηγίες, αφού πρώτα μεταφέρετε τον δρομέα στην αρχή. Στη συνέχεια πατήστε το βέλος κίνησης του δρομέα.      •  Μπορείτε να περιγράψετε την μεταβολή του ύψους σε σχέση με την μεταβολή του         μέτρου της γωνίας από 0ο έως 360ο; Επιλέξτε διάστημα μεταβολών -360ο έως 360ο        και επαναλάβατε το πείραμα. 4.    Επιλέξτε για τον δρομέα κ τιμή 2 και επαναλάβατε το προηγούμενο πείραμα. Κάντε το ίδιο για κ = 3 ή κ=4 κ.ο.κ.      •  Μπορείτε να περιγράψετε την μεταβολή του ύψους σε σχέση με την μεταβολή του         μέτρου της γωνίας;
Αναμενόμενα και συμπεράσματα. 1. Τα πειράματα με τον καθορισμό της θέσης του κάδου στον κύκλο μέσω του ορισμού της γωνίας (πληκτρολόγηση ή σύρσιμο του δρομέα α) ώστε να έχουν την ίδια ή αντίθετη τιμή για το ΚΜ οδηγούν στην διατύπωση συμπεράσματος, όπως:      Οι παραπληρωματικές γωνίες (α και 180ο-α) δίνουν  την ίδια τιμή για το ΚΜ, ενώ οι  γωνίες α και 180ο+α ή 360ο-α αντίθετες τιμές.  2.  Τα πειράματα για την μεταβολή της τιμής του ΚΜ καθώς ο κάδος κινείται στον κύκλο αναμένεται να οδηγήσουν σε συμπεράσματα, όπως:      Αύξηση της τιμής μέχρι τις 90ο, μείωση από 90ο έως 270ο και αύξηση από 270ο μέχρι 360ο. 3.  Η επανάληψη του προηγούμενου πειράματος και η εγγραφή των 360 δεδομένων στο υπολογιστικό φύλλο θα επιβεβαιώνουν το προηγούμενο συμπέρασμα και να οδηγήσουν στο συμπέρασμα σχετικά:      Με τις περιπτώσεις των ίσων ή αντίθετων τιμών του ΚΜ.  Η επανάληψη του ίδιου πειράματος για διάστημα μεταβολών από -360ο έως 360ο και η εγγραφή στο υπολογιστικό φύλλο 720 τιμών, θα οδηγήσει σε συμπέρασμα σχετικό με:     Την επανάληψη των μεταβολών του ΚΜ  για τα διαστήματα  0ο – 360ο και  -360ο – 0ο κινώντας κατάλληλα τον δρομέα. 4. Η επανάληψη του ίδιου πειράματος επιλέγοντας για το κ τιμές 2, 3 κ.ο.κ. και διάστημα μεταβολής από 0ο έως κ360ο ή –κ360ο έως κ360ο αναμένεται να οδηγήσει σε συμπέρασμα, όπως:     Οι μεταβολές του ΚΜ επαναλαμβάνονται για το διάστημα  – 360ο, 0ο καθώς και για τα διαστήματα μήκους 360ο είτε προς τα αριστερά είτε προς τα δεξιά.
Συζήτηση στην τάξη. Προετοιμάστε τις απαντήσεις στα παρακάτω ερωτήματα. Μπορείτε να περιγράψετε στην τάξη πώς μεταβάλλεται το ύψος του κάδου καθώς αυτός αλλάζει θέση στον τροχό; Για την τιμή της γωνία α= 45ο το ύψος είναι 2,83. Ποιες άλλες γωνίες μπορούν να δώσουν την ίδια τιμή ΚΜ; Υπενθυμίζεται ότι η εφαρμογή δίνει θετικές ή αρνητικές τιμές για την απόσταση αν ο κάδος βρίσκεται πάνω ή κάτω από το νερό. Ποια είναι η μέγιστη τιμή για το ΚΜ, ποια η ελάχιστη και πότε συμβαίνει αυτό; Πώς μεταβάλλεται η τιμή του ΚΜ όταν η γωνία μεταβάλλεται από 0ο έως 360ο; Πώς μεταβάλλεται η τιμή του ΚΜ όταν η γωνία μεταβάλλεται από 0ο έως 2*360ο ή από 0ο έως 3*360ο κ.ο.κ.; Η συνεχής κίνηση στον κύκλο δημιουργεί ένα φαινόμενο που ονομάζεται περιοδικό. Γνωρίζετε άλλα τέτοια φαινόμενα; Οι μεταβολές των τιμών σε ένα περιοδικό φαινόμενο ονομάζονται περιοδικές μεταβολές. Ποια είναι τα βασικά τους χαρακτηριστικά;
Εργασίες και επεκτάσεις. Στα επόμενα μαθήματα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ο τριγωνομετρικός κύκλος ως αφαίρεση του τροχού, να συστηματοποιηθούν τα συμπεράσματα και θα χρησιμοποιηθούν οι συντεταγμένες του σημείου – κάδου και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί για να εκφραστεί αλγεβρικά η σχέση (θέση στον κύκλο, τιμή ΚΜ).
Το διδακτικό σχέδιο. κγ