Ημιτονοειδής μεταβολή

Μελέτη περίπτωσης

Εισαγωγή

Στα σχολικά μαθηματικά, οι αντιλήψεις των μαθητών για τις μεταβολές των ποσοτήτων συγκροτούνται στο πλαίσιο της μελέτης των συναρτήσεων και μέσω πρότυπων παραδειγμάτων.

    Η πιο συνήθης μεταβολή είναι η γραμμική μεταβολή η οποία συνδέεται με μια σειρά από φαινόμενα και καταστάσεις, όπως η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, η μεταβολή της περιμέτρου ενός βασικού γεωμετρικού σχήματος σε σχέση με την μεταβολή μιας πλευράς του κ.ά. Είναι η πιο κοντινή στις εμπειρίες των μαθητών καθώς συνδέεται με τα ανάλογα ποσά. Γραφικά η γραμμική μεταβολή αναπαρίσταται με την ευθεία η οποία έχει συγκεκριμένες ιδιότητες (διέρχεται από την αρχή των αξόνων, έχει σταθερή κλίση και εκφράζεται αλγεβρικά με την σχέση y=αx.

Γραμμική μεταβολή

   Η επόμενη, πιο κοντινή στις εμπειρίες των μαθητών μεταβολή, είναι η τετραγωνική μεταβολή ή παραβολή. Συνδέεται με φαινόμενα οικεία στους μαθητές όπως η τροχιά μιας βολής, η μεταβολή του εμβαδού τετραγώνου σε σχέση με την μεταβολή της πλευράς του κ.ά.

Τετραγωνική μεταβολή	Υπερβολική μεταβολή

   Μια άλλη ενδιαφέρουσα μεταβολή, που δεν είναι τόσο κοντά στις εμπειρίες των μαθητών, είναι η υπερβολική μεταβολή. Τα φαινόμενα που την εμπεριέχουν συνδέονται με τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά ή με ποσά που έχουν σταθερό γινόμενο. 

   Άλλες μεταβολές που μελετούν οι μαθητές είναι ακόμα πιο μακριά από τις εμπειρίες των μαθητών (πολυωνυμικές συναρτήσεις, εκθετικές, λογαριθμικές κ.ό.κ.).  Ίσως οι τριγωνομετρικές μεταβολές, επειδή συνδέονται και εκφράζουν περιοδικές μεταβολές να είναι λιγότερο μακριά από τις εμπειρίες τους.
   Σε αυτό το άρθρο αναφερόμαστε στις τριγωνομετρικές μεταβολές και ιδιαίτερα στην ημιτονοειδή μεταβολή.

  Για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μελετούν την συμμεταβολή γωνίας και πλευράς. Για να φτάσουν οι μαθητές σε ένα πλαίσιο μελέτης της τριγωνομετρικής μεταβολής εμπλέκονται σε μια εννοιολογική διαδρομή που απαιτεί υπερβάσεις και επεκτάσεις. Συγκεκριμένα:

• Ορισμός των τριγωνομετρικών αριθμών: Διαπραγμάτευση των τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας ως λόγων σε όμοια ορθογώνια τρίγωνα. Επίλυση ορθογωνίων τριγώνων.
• Ορισμός των τριγωνομετρικών αριθμών κυρτών και μη κυρτών γωνιών (90° - 360°). Επέκταση των εννοιών των τριγωνομετρικών αριθμών για γωνίες από 90° έως 360° με τη βοήθεια του ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων και του ορθογωνίου τριγώνου της αντίστοιχης οξείας γωνίας. 
• Ορισμός του τριγωνομετρικού κύκλου. Μελέτη των τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών από 0° έως 360°στον κύκλο με ακτίνα 1. 
• Εισαγωγή της έννοιας του ακτινίου. Μετατροπή των μέτρων των γωνιών από μοίρες σε ακτίνια.
• Εισαγωγή της έννοιας της γενικευμένης γωνίας. Γωνίες με αρνητικό ή θετικό μέτρο του τύπου κ·360°±φ, κ ακέραιος. Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο.
• Σύνδεση των τριγωνομετρικών αριθμών με τις γενικευμένες γωνίες. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ορίζονται ως συντεταγμένες του σημείου τομής του κύκλου με την μία πλευρά της γωνίας ενώ η άλλη παραμένει σταθερή. 
• Ορισμός των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ο ορισμός των συναρτήσεων απαιτεί την εξής διαδικασία:  
• χ∈R → Γωνία με μέτρο χ → Σημείο στον τριγωνομετρικό κύκλο → Τετμημένη του σημείου = συνχ
• χ∈R → Γωνία με μέτρο χ → Σημείο στον τριγωνομετρικό κύκλο → Τεταγμένη του σημείου = ημχ 

Αν στην παραπάνω ρύθμιση προσθέσουμε, τους πολλούς συμβολισμούς και τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών αριθμών και του τριγωνομετρικού κύκλου που αναπαριστώνται σε αυτή, συγκροτούμε ένα πολύπλοκο περιβάλλον μάθησης που είναι απόλυτα λογικό να δυσκολεύει τους μαθητές.

Ο τριγωνομετρικός κύκλος

Απόψεις για την περιοδική μεταβολή

Η περιοδικότητα είναι μια επιστημονική έννοια και είναι ανιχνεύσιμη σε πολλά διαφορετικά πλαίσια. Οι μαθηματικές περιοδικές συναρτήσεις ([1],[2]) και οι μαθηματικές περιοδικές σειρές ([1], [2], [3]) χρησιμοποιούνται για να μοντελοποιήσουν φαινόμενα στη βιολογία, στη χημεία, στη φυσική και στην τεχνολογία ([1], [2], [3], [4]).  

   Διαισθητικά μια περιοδική μεταβολή είναι ένα φαινόμενο που συνεχίζει να επαναλαμβάνεται με τις ίδιες τιμές, όπως οι παλίρροια της θάλασσας και η τάση του εναλλασσόμενου ρεύματος. Φυσικά αυτή η διαισθητική αντίληψη είναι αρκετά μακρυά από τον τυπικό ορισμό της περιοδικότητας, που σύμφωνα με τους Dormolen, J. and Zaslavsky, O.(2003, ‘The many facets of a defnition: The case of periodicity’, Journal of Mathematical Behavior 22, 91–106), πρέπει να ικανοποιεί μια σειρά από κριτήρια, όπως της ιεραρχίας, της ύπαρξης, της ισοδυναμίας, της αξιωματικοποίησης και της ελαχιστότητας. Ωστόσο για διδακτικούς λόγους, είναι απόλυτα λογικό οι διαισθητικές αντιλήψεις των μαθητών να αποτελούν τη βάση για μια διαπραγμάτευση με τις μαθηματικές περιοδικές μεταβολές.

   Οι εκπαιδευτικοί των μαθηματικών και οι ψυχολόγοι της μάθησης συμφωνούν ότι, γενικά, η μάθηση μιας νέας έννοιας είναι καλύτερα να αρχίζει με έναν άτυπο τρόπο μέσω ενός ή περισσότερων καλά επιλεγμένων παραδειγμάτων.

   Σε σχέση με τον τυπικό ορισμό της έννοιας μπορούν να διατυπωθούν δύο κατά κάποιο τρόπο ισοδύναμοι ορισμοί. 

• Μια συνάρτηση  f  καλείται περιοδική εάν υπάρχει ένας μη μηδενικός αριθμός  p, έτσι ώστε για κάθε  x  που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f, οι ακόλουθοι όροι εκπληρώνονται: (α)  x + p ανήκει στο πεδίο ορισμού της f, (β) f(x + p) = f(x). Ο ελάχιστος θετικός p ονομάζεται περίοδος.
• Μια συνάρτηση f  καλείται περιοδική εάν υπάρχει μια μη τετριμμένη μεταφορά (με μη μηδενικό διάνυσμα) της γραφικής παράστασης της f  κατά μήκος του οριζόντιου άξονα, έτσι ώστε η εικόνα της να συμπίπτει με την αρχική. Το ελάχιστο τμήμα που μπορεί επαναλαμβανόμενο να συγκροτήσει ολόκληρη την μεταβολή, ονομάζεται περίοδος.

   Ο πρώτος, ο αλγεβρικός ορισμός, είναι ο αναλυτικός ορισμός και κοιτάζει την συνάρτηση σημείο προς σημείο. Ο δεύτερος, είναι ο γεωμετρικός ορισμός και κοιτάζει την περιοδική συνάρτηση συνολικά (σφαιρικά). Ο γεωμετρικός ορισμός είναι χρήσιμος για την ανάπτυξη νοημάτων που αφορούν ιδιότητες της έννοιας όπως αυτές της περιόδου και της επέκτασης της συνάρτησης προς τις δύο κατευθύνσεις. Και οι δύο ορισμοί καλύπτουν την λεγόμενη διαισθητική αντίληψη μιας περιοδικής συνάρτησης, ότι δηλαδή οι τιμές της επαναλαμβάνονται τακτικά. Ωστόσο, ο έλεγχος της περιοδικότητας μόνο μέσω διαισθητικών αντιλήψεων, όπως "η γραφική παράσταση επαναλαμβάνεται κατά διαστήματα" και όχι μέσω του ορισμού της περιοδικής ιδιότητες ενέχει κινδύνους για λάθη και παρανοήσεις. 

 

Μερικές διαπιστώσεις από ερευνητικές αναφορές:

   Οι Shama και Movshovitz-Hadar (1997) στη μελέτη τους για την κατανόηση της έννοιας της περιοδικότητας μεταξύ μαθητών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης στο Ισραήλ διαπίστωσαν ότι οι μαθητές είχαν δυσκολίες στον προσδιορισμό της περιόδου και είδαν την περιοδικότητα περισσότερο ως μια διαδικασία και όχι ως ένα αντικείμενο.  Η προτίμηση των μαθητών στη περιοδικότητα ως διαδικασία, στην μελέτη του Shama (1998) συνδέθηκε, αφενός με δυναμικές καταστάσεις εξαρτώμενες από τον χρόνο (εξαιτίας μάλλον των εμπειριών που έχουν από φυσικά περιοδικά φαινόμενα) και αφετέρου στον λανθασμένο προσδιορισμό φαινομένων ως περιοδικών, που κατασκευάστηκαν με επαναλαμβανόμενες διαδικασίες.

   Οι Dreyfus T. and Eisenberg T. (1980) διαπίστωσαν ότι η σφαιρική οπτικοποίηση των γεωμετρικών πληροφοριών είναι ένα απαραίτητο στοιχείο για να κατανοούν και να αναγνωρίζουν οι μαθητές την περιοδική μεταβολή. Μάλιστα οι Buendia G. & Cordero F. (2005) χρησιμοποιούν τις οι σφαιρικές πληροφορίες της γραφικής παράστασης μιας περιοδικής μεταβολής ως σημαντικό στοιχείο για να κάνουν προβλέψεις.

  

 

 Η γνώση της συμπεριφοράς της συνάρτησης και της περιόδου οδηγεί σε ασφαλείς προβλέψεις καθώς με την βοήθεια τους γνωρίζουμε κάθε τι για την μεταβολή.

• Dreyfus T. and Eisenberg T.  (1980) On teaching periodicity INT. J. MATH. EDUC. SCI. TECHNOL, 1980, VOL. 11, NO. 4, 507-509.
• Callahan, J., Cox, D., Hoffman, K., O’Shea, D., Pollatsek, H. and Senechal, L., (1992). ‘Periodicity’, in Calculus in Context, Mcmillan, USA, pp. 413–158.
•  Shama, G. and Movshovitz-Hadar N. (1997). ‘The process of periodicity’, in Proceeding of the Nineteenth Annual Meeting Psychology of Mathematics Education, ERIC Cleaninghouse for Science, Mathematics and Environmental Education, Columbus, OH, pp. 45–50
• Shama G., (1998). “Understanding Periodicity As A Process With A Gestalt Structure”, Educational Studies in Mathematics 35: 255–281
• Dormolen, J. and Zaslavsky, O.: (2003), ‘The many facets of a defnition: The case of periodicity’, Journal of Mathematical Behavior 22, 91–106.
• Buendia G. & Cordero F.  (2005) Prediction and the periodical aspect as generators of knowledge in a social practice framework. Educational Studies in Mathematics 58: 299–333.

Στα σχολικά μαθηματικά οι ημιτονοειδείς και το συνημιτονοειδείς μεταβολές είναι τα  παραδείγματα για την μελέτη των περιοδικών μεταβολών.  

 

Απόψεις για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις

 

Τα ερευνητικά δεδομένα έχουν περιγράψει τις δυσκολίες στη μάθησή των τριγωνομετρικών μεταβολών να σχετίζονται είτε με την έλλειψη της κατανόηση της μαθηματικής έννοιας της περιοδικότητας (Dreyfus T. & Eisenberg T., 1980, Shama G.,1998, Bagni, G.T., 1997),είτε με την έλλειψη μιας σύνδεσης μεταξύ της περιοδικής μεταβολής των φυσικών φαινομένων και της τριγωνομετρικής μεταβολής (Buendia G. & Cordero F., 2005), ενώ παρουσιάζουν διαφορετικά αποτελέσματα στη μάθηση, όταν αυτή γίνεται σε ένα υπολογιστικό περιβάλλον, σε σχέση με ένα άλλο πλαίσιο (Wenzelburger, E., 1992, Lobo da Costa, N.& Magina, S.,1998). Ακόμα, είναι πιθανόν μερικές από τις δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές στην προσέγγιση της έννοιας της τριγωνομετρικής μεταβολής να οφείλονται στην έλλειψη εμπειριών σχετικών με την έννοια της συμμεταβολής και της εξάρτησης της μεταβολής της μιας ποσότητας από την άλλη (Mariotti M., et al., 1998).

•  Bagni, G.T. (1997), Trigonometric functions: learning and didactical contract, D’Amore, B. & Gagatsis, A. (Eds.), Didactics of Mathematics-Technology in Education, Erasmus ICP-96-G-2011/11, Thessaloniki, 3-10.
• Wenzelburger, E. (1992), “The Learning of Trigonometric Functions in a Graphical Computer Environment”. Proceedings of PME 16, Vol. Ill, pp. 106-113.
• Lobo da Costa, N., Magina, S. (1998). "Making Sense Of Sine And Cosine Functions Through Alternative Approaches: Computer And ‘Experimental World’ Contexts". PME 22,    vol. 2, pp. 224-231. Africa do Sul, 1998.
• Mariotti M.A, Laborde C., Falcade R. (2003) Function and Graph in a DGS environment, Proceedings of the 2003 Joint Meeting of PME and PMENA, vol. 3, 237 - 244.  

Εισαγωγή στην ημιτονοειδής μεταβολή χωρίς τριγωνομετρικό κύκλο

Η διδασκαλία των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, λαμβανομένων υπόψη των δυσκολιών που αναφέρθηκαν παραπάνω γίνεται ακόμα δυσκολότερη καθώς εμπλέκεται η Άλγεβρα, οι αλγεβρικοί συμβολισμοί και οι αλγεβρικές συμβάσεις.
   Μπορούμε να διδάξουμε την τριγωνομετρική μεταβολή χωρίς την Άλγεβρα και χωρίς τις απαιτήσεις του τριγωνομετρικού κύκλου και όσων απαιτούνται για να οργανωθεί το συγκεκριμένο πλαίσιο;
  Στο πλαίσιο της γεωμετρίας η τριγωνομετρική συνάρτηση είναι συμμεταβολή μεταξύ γωνίας και πλευράς. Μπορούμε να διαπραγματευτούμε άμεσα την συμμεταβολή αυτή; Μπορούμε να αναπαραστήσουμε και να διαπραγματευτούμε την δομή της; Η Άλγεβρα ας έλθει στο τέλος της διαπραγμάτευσης.
   Το εκπαιδευτικό λογισμικό μας επιτρέπει πλέον να αναπαραστήσουμε με απλό τρόπο συμμεταβολές μεταξύ γωνίας και πλευράς χωρίς την μεσολάβηση πλαισίων όπως αυτό του τριγωνομετρικού κύκλου. Η μια κατεύθυνση είναι να προσομοιώσουμε περιοδικά φαινόμενα και να μαθηματικοποιήσουμε τη συμμεταβολή των μεγεθών που εμπλέκονται. Η άλλη κατεύθυνση είναι να αναπαραστήσουμε άμεσα την συμμεταβολή γωνίας και πλευράς.  Και αυτό επιχειρούμε στο άρθρο αυτό, με εργαλεία της δυναμικής γεωμετρίας. 
   Στον παρακάτω μικρόκοσμο οι συντεταγμένες του σημείου M, όταν είναι κατάλληλες, ορίζουν την γωνία της κορυφής και την απέναντι πλευρά ενός ισοσκελούς τριγώνου του οποίου οι ίσες πλευρές είναι σταθερές και ορίζονται από το μήκος του τμήματος ΚΛ. Εδώ ως ανεξάρτητη μεταβλητή  αναπαρίσταται η γωνία και ως εξαρτημένη μεταβλητή η απέναντι πλευρά.

Το θέμα: Μπορείτε να κινήσετε το σημείο Μ έτσι ώστε το σημείο Η να ταυτίζεται με το Γ και να ορίζει το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της καμπύλης στην οποία ανήκουν τα σημεία στα οποία ορίζεται το ισοσκελές τρίγωνο;  Για ποιά τιμή της γωνίας η πλευρά έχει τιμή 1;

Ανάλυση των χειρισμών: Στον μικρόκοσμο μπορείτε να κάνετε τους εξής χειρισμούς: Να σέρνετε το σημείο Μ έτσι ώστε το Η να ταυτίζεται με το Γ και να σχηματίζεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ.  Κατά το σύρσιμο του σημείου Μ χρειάζεται να συντονίζετε την κίνηση του Μ προς μια νέα θέση με την τάση να σχηματίζεται (να κλείνει) το τρίγωνο ΑΒΓ.  Ο συντονισμός στην αρχή είναι δύσκολος καθώς δεν υπάρχει ένα σχέδιο κίνησης. Σταδιακά, και καθώς θα αναπτύσσεται μια δομή της καμπύλης θα οργανώνεται και ένα σχέδιο του συρσίματος. Η βοήθεια προβάλει μερικά σημεία της καμπύλης ως οδηγό του συρσίματος.  Η απάντηση προβάλει την καμπύλη πάνω στην οποία πρέπει να κινηθεί το σημείο Μ. Η μεγέθυνση και η σμίκρυνση αλλάζουν την μονάδα στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Η εμφάνιση ή το σβήσιμο των ιχνών επιτρέπει στον χρήστη να κάνει δοκιμές χωρίς ή με την παρουσία των ιχνών και να αρχίζει από την αρχή τα πειράματα. Με το σημείο N μετακινείται η οριζόντια διακεκομμένη ευθεία μέχρι να τμήσει την καμπύλη.

Ενδεικτικά πειράματα:  Αξιολόγηση του μεγέθους της γωνίας όταν μετριέται σε ακτίνια (rad). Διαδικασίες μετατροπής από μοίρες σε ακτίνια και αντίστροφα στο χαρτί.  Δοκιμές για οριοθέτηση της περιοχής συρσίματος του σημείου Μ.  Τι συμβαίνει όταν το Μ κινείται οριζόντια ή όταν κινείται κάθετα ή διαγώνια; Τι συμβαίνει με το τρίγωνο όταν το Μ κινείται πολύ πάνω ή πολύ κάτω από τον οριζόντιο άξονα. Σύρσιμο του σημείου Μ ώστε η γωνία να Β να παραμένει κυρτή.  Τι είδους καμπύλη τείνει να σχηματίσει το ίχνος του σημείου Μ; Σύρσιμο του σημείου Μ σε σχέση με το είδος της γωνίας (κυρτή, μη κυρτή, μεγαλύτερη των 180° κτλ).  Τι είδους καμπύλη τείνει να σχηματίσει το ίχνος του σημείου Μ στις διάφορες περιπτώσεις; Σύρσιμο του σημείου Μ σε σχέση με το πρόσημο των συντεταγμένων του.  Τι συμβαίνει με τον σχηματισμό του τριγώνου όταν η γωνία παίρνει θετικές τιμές και η πλευρά ΑΗ θετικές Τι συμβαίνει με τον σχηματισμό του τριγώνου όταν η γωνία παίρνει θετικέ τιμές και η πλευρά ΑΗ αρνητικές;  Τι συμβαίνει με τον σχηματισμό του τριγώνου όταν η γωνία παίρνει αρνητικές τιμές και η πλευρά ΑΗ αρνητικές;  Τι συμβαίνει με τον σχηματισμό του τριγώνου όταν η γωνία παίρνει αρνητικές τιμές και η πλευρά ΑΗ θετικές; Εξέταση των ειδικών περιπτώσεων.  Σημεία της καμπύλης πάνω στον άξονα των γωνιών. Σημεία της καμπύλης με την μέγιστη τιμή της βάσης ΑΓ (ΑΗ) του τριγώνου. Σύρσιμο της οριζόντιας ευθεία από το σημείο N για έλεγχο ιδιοτήτων της περιοδικότητας και "οπτική" λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων του τύπου ημχ=α.

Νοήματα που αναμένεται να αναπτυχθούν: Η αρνητική τιμή για την γωνία έχει νόημα καθώς η πλευρά η πλευρά ΒΓ στρέφεται αντίθετα (κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού) από ότι στρέφεται με θετική γωνία (αντίθετα από την φορά του ρολογιού). Το νόημα αυτό μπορεί να αναπτυχθεί όταν το σημείο Μ κινηθεί οριζόντια από τις θετικές τιμές της γωνίες στις αρνητικές τιμές της. Η αρνητική τιμή για την πλευρά ΑΗ διακρίνεται από την θετική σε σχέση με την θέση της ως προς την πλευρά ΑΒ. Όταν είναι θετική σχηματίζεται δεξιά της ΑΒ καιόταν είναι αρνητική σχηματίζεται αριστερά της. Αυτό αναμένεται να αναπτυχθεί ως νόημα κατά την κίνηση του Μ σε περιοχές που τείνει να ταυτιστεί το Η με το Γ. Κατά την κίνηση του Μ με τετμημένη από 0 έως 3.14 οι τιμές της πλευράς ΑΗ ή ΑΓ μεγαλώνουν με μέγιστη τιμή όταν το τρίγωνο εκφυλίζεται με την κορυφή Β στο μέσον των Α και Γ ή Η.  Κατά την κίνηση με τιμές της γωνίας από 3.14 έως 6.28 οι τιμές της πλευράς ΑΗ ή ΑΓ μικραίνουν μέχρι να γίνει 0. Στην περίπτωση αυτή το μήκος ΑΗ θα είναι 0 και το τρίγωνο θα εκφυλιστεί στο ένα ευθ. τμήμα ΑΒ. Κατά την κίνηση του σημείου πέραν της γωνίας 6.28 το φαινόμενο επαναλαμβάνεται μέχρι 12.56 (διαπιστώνεται με σμίκρυνση), με ελάχιστη τιμή για τη γωνία 9.42 rad και τιμή 0 για γωνία 12.56 rad. Κατά την κίνηση του Μ προς αρνητικές τιμές της γωνίας παρατηρούνται ανάλογα φαινόμενα. με αντίθετο τρόπο μεταβολής. Από -6.28 έως; -3.14 οι τιμές της πλευράς μειώνονται και από -3.14 έως 0 οι τιμές της πλευράς μεγαλώνουν.

κγ