Για τις αλγεβρικές ταυτότητες

Διδακτική πρόταση

1. Εισαγωγή

• Μια σύντομη παρουσίαση  

Η διδακτική πρόταση αφορά την ταυτότητα  (α+β)² = α²+β²+2αβ και την νοηματοδότησή της από τους μαθητές στο πλαίσιο των εμβαδών κατάλληλων γεωμετρικών σχημάτων. Οι μαθητές καλούνται να συγκρίνουν τα εμβαδά των τετραγώνων με πλευρές α, β και α+β και να εκφράσουν τη σχέση τους αλγεβρικά. Έτσι η ταυτότητα αποκτά νόημα, καθώς εκφράζει σχέση εμβαδών τετραγώνων. Στη συνέχεια προτείνονται δραστηριότητες στις οποίες αλλάζει το πλαίσιο εφαρμογής της ταυτότητα και σταδιακά μια αποπλαισίωση.

•  Γνωστικά θέματα

 Δύο από τα συχνότερα παρατηρούμενα λάθη των μαθητών είναι η παράλειψη του διπλάσιου γινομένου στην ταυτότητα (α+β)² = α²+β²+2αβ και η δυσκολία εφαρμογή της στις αλγεβρικές πράξεις. Αυτό, κατά τη γνώμη μου οφείλεται στο γεγονός ότι οι μαθητές αναγκάζονται να αποστηθίσουν την ταυτότητα, καθώς αδυνατούν να την νοηματοδοτήσουν και έτσι ξεχνούν μέρος του αναπτύγματός της. Η δυσκολία εφαρμογής της σε μια παράσταση που χρησιμοποιεί άλλα λεκτικά σύμβολα ή άλλο πλαίσιο συζήτησης, μάλλον οφείλεται στην ίδια την αλλαγή του πλαισίου, και μπορεί να ξεπεραστεί, στην πορεία του χρόνου, με την αξιοποίησή της σε διάφορες και διαφορετικού πλαισίου εφαρμογές.

• Παιδαγωγικά και διδακτικά θέματα

 Η συνήθης πρακτική της διδασκαλίας είναι στην ίδια διδακτική ώρα, μια σύντομη παρουσίαση της ταυτότητας, της απόδειξής της και η εμπλοκή των μαθητών με κάποιες εφαρμογές, που έχουν διαφορετικά λεκτικά σύμβολα ή αξιοποίησή της στις αριθμητικές πράξεις.
Η πρακτική αυτή δεν βοηθά τους μαθητές να νοηματοδοτήσουν την ισότητα, δηλαδή αφενός να κατασκευάζουν μια καλή εικόνα στο μυαλό τους για την δομή της ταυτότητας και αφετέρου να αντιληφθούν την ισοδυναμία των δύο εκφράσεων της ισότητας. 

• Καινοτομίες

Στην διδακτική μου πρόταση οι μαθητές καλούνται να συγκρίνουν τα εμβαδά των τριών τετραγώνων και να συμπληρώσουν την ισότητα  (α+β)² = α²+β²+____. Ακόμα, καλούνται να εξηγήσουν αλγεβρικά την ταυτότητα, με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας.
 

2. Στόχοι διδασκαλίας

Στόχοι της διδακτικής πρότασης είναι να βοηθήσει τους μαθητές

• Να αντιληφθούν ότι η ταυτότητα εκφράζει μια σχέση ισοδυναμίας μεταξύ δύο αλγεβρικών εκφράσεων.
• Να χρησιμοποιήσουν την ταυτότητα για να απλοποιήσουν άλλες αλγεβρικές εκφράσεις. 

3. Προαπαιτούμενα

Οι μαθητές χρειάζεται να γνωρίζουν, να εκφράζουν και να εφαρμόζουν

• Το εμβαδόν τετραγώνου.
• Τις δυνάμεις 
• Την επιμεριστική ιδιότητα.

4. Μέθοδος και μέσα διδασκαλίας 

Η διδασκαλία προτείνεται να διεξαχθεί στο εργαστήριο υπολογιστών ή σε αίθουσα με ένα υπολογιστή και βιντεοπροβολέα η διαδραστικό πίνακα ώστε να δοθεί η δυνατότητα στους μαθητές να πειραματιστούν στο πλαίσιο της δραστηριότητας.
Ακόμα προτείνεται οι μαθητές να συνεργαστούν σε μικρές ομάδες για να απαντήσουν στα ερωτήματα του φύλλου εργασίας και να προετοιμάσουν μια συζήτηση στην τάξη.
Ο εκπαιδευτικός δεν πρέπει να παραλείψει να ενθαρρύνει τους μαθητές να συμμετέχουν ενεργά και να τους δώσει την ευκαιρία να εκφράζουν στην ομάδα τους και στην τάξη τι ιδέες τους, τις απόψεις τους και τα συμπεράσματά τους.  

5. Δραστηριότητες των μαθητών (το φύλλο εργασίας)

• Το θέμα

Μπορείτε να συγκρίνετε τα εμβαδά των τριών τετραγώνων με πλευρές α, β και α+β; 

• Οδηγίες

Στην εφαρμογή, μπορείτε να μεταβάλετε τους δρομείς α και β για να καθορίσετε το μήκος των πλευρών των τετραγώνων και ορθογωνίων που εμφανίζονται. Όλα τα σχήματα μπορείτε να τα μεταφέρετε αφού επιλέξετε το αριστερό σημείο της βάσης και να τα περιστρέφετε αφού επιλέξετε το δεξί σημείο της βάσης.

• Πειράματα

1.  Επιλέξτε το κουτί "Παζλ τετραγώνου". Μπορείτε να συνδυάσετε τα 4 σχήματα έτσι ώστε να σχηματίσετε ένα τετράγωνο χωρίς κενά και επικαλύψεις μεταξύ των σχημάτων αυτών;
2. Επιλέξτε το κουτί "Σύγκριση εμβαδών". Μπορείτε τα τοποθετήσετε τα δύο τετράγωνα με πλευρές α και β στο εσωτερικό του τετραγώνου με πλευρά α+β, χωρίς επικαλύψεις, έτσι ώστε αφού ταιριάξετε κατάλληλα κορυφές και οι πλευρές να μπορείτε να συγκρίνετε το εμβαδόν τους;

• Διερευνήσεις

1. Τα τρία τετράγωνα έχουν εμβαδά α², β² και (α+β)² αντίστοιχα. Μπορείτε να συγκρίνετε τα εμβαδά (α+β)² και α²+β²;
2. Μπορείτε να συμπληρώσετε τη σχέση (α+β)² = α²+β² + _____________;

• Αποδείξεις

1. Μπορείτε να αποδείξετε αλγεβρικά την ισότητα που διατυπώσατε στο τελευταίο ερώτημα;

• Συζήτηση στην τάξη

• Ποιους αριθμούς μπορείτε να αντικαταστήσετε στη θέση των α και β ώστε να ισχύει η ισότητα  (α+β)² = α²+β² +2αβ που διατυπώσατε; Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

α	β	(α+β)²	α²+β² +2αβ
1	1
-1	2
0	-3
1,2	-1
-2	0,5

• Στην αλγεβρική παράσταση Α=(α+β)²+2α(α-β) κάποιος αντικατέστησε τον παράγοντα (α+β)² με την παράσταση α²+β²+2αβ και πήρε την παράσταση Β = α²+2αβ+β²+2α²-2αβ = 3α²+β².     Η νέα παράσταση Β που προέκυψε τι σχέση έχει με την αρχική Α; Μπορεί κάποιος να γράψει την ισότητα (α+β)²+2α(α-β) = 3α²+β²;  Και γιατί;
• Μπορείτε να εξετάσετε αν ισχύει η ισότητα (χ+2)²=χ²+4+4χ;
• Κάποιος μαθητής έγραψε την ισότητα (α-β)²=α²-β²-2αβ. Πώς μπορεί να ελέγξει αν είναι σωστή ή λάθος; Και αν είναι λάθος τι πρέπει να διορθώσει;

6. Αξιολόγηση

Η αξιολόγηση αφορά αφενός την επίτευξη των στόχων της διδασκαλίας και αφετέρου την αποτελεσματικότητα του σχεδίου.
Ως προς το πρώτο, ο διάλογος στην τάξη μπορεί να δώσει μερικά αρχικά στοιχεία στον εκπαιδευτικό που να αξιολογούν τον βαθμό στον οποίο έγινε κατανοητή η έννοια της ταυτότητας, της απόδειξης και της αξιοποίησης της επιμεριστικής ιδιότητας.
Ως προς το δεύτερο σκέλος, η αξιολόγηση του πρώτου σκέλους, ο χρόνος που απαιτήθηκε για να υλοποιηθεί η διδασκαλία, η καταλληλότητα των μέσων που χρησιμοποιήθηκαν καθώς και η συζήτηση στο τέλος της διδασκαλίας είναι δείκτες που μπορούν να βελτιώσουν το σχέδιο και το φύλλο εργασίας.

7. Προστιθέμενη αξία

Μερικά στοιχεία της διδακτικής πρότασης την καθιστούν κατάλληλη για να φέρει σε επαφή τους μαθητές με τις αλγεβρικές εκφράσεις, την ισοδυναμία τους (ταυτότητες) και την αξιοποίησή τους στον μετασχηματισμό σύνθετων εκφράσεων και εξισώσεων.
Ακόμα, το γεγονός ότι οι μαθητές καλούνται να διερευνήσουν τις σχέσεις (α+β)²  και α²+β² και να συμπληρώσουν την ισότητα (α+β)² = α²+β²+ μπορεί να συμβάλει στο να αποφευχθούν τα συνήθη λάθη τους. 
 

 8. Επέκταση

 Ο εκπαιδευτικός μπορεί να αξιοποιήσει την παρακάτω εφαρμογή και να ζητήσει από τους μαθητές του να πληκτρολογούν το πρώτο μέλος διαφόρων ταυτοτήτων, να επιλέξουν το 5ο εικονίδιο, να παίρνουν το ανάπτυγμα και να προσπαθούν να αποδεικνύουν την ισότητα που προκύπτει.

Παράδειγμα.: 

•  Πληκτρολογήστε την έκφραση (2α+β)^2, επιλέξτε το πέμπτο εικονίδιο ¨Απαλοιφή" συμπληρώστε την ισότητα (α+2β)²= ......... και στη συνέχεια αποδείξτε την αλήθεια της.

 

  9. Πηγές

 Οι παρακάτω πηγές μπορούν να συμβάλλουν σε περισσότερη μελέτη
[1], [1], [2], [3]

κγ