Για την απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

Μελέτη περίπτωσης

Εισαγωγή

Η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού ([1], [2], [3], [4])  είναι από τις περιπτώσεις των σχολικών μαθηματικών που ενώ δεν είναι κεφαλαιώδους σημασίας, απασχολούν ιδιαίτερα τους εκπαιδευτικούς εξαιτίας των δυσκολιών που αντιμετωπίζουν οι μαθητές τους, κατά την μελέτη  της.
Μάλιστα, ενώ στις αριθμητικές εφαρμογές δεν παρουσιάζει ιδιαίτερα προβλήματα και γεωμετρικά είναι εύληπτη, ως απόσταση δύο σημείων του άξονα R, δημιουργεί ιδιαίτερες δυσκολίες όταν εξετάζεται από την πλευρά της Άλγεβρας.

Τα πεδία διαπραγμάτευσης της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού

Όπως αναφέρθηκε η έννοια της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού εμπλέκεται σε διάφορα γνωστικά πεδία. Συγκεκριμένα, εμπλέκεται στα εξής πεδία.

• Στο Αριθμητικό πεδίο
• Στο Γεωμετρικό πεδίο
• Στο Αλγεβρικό ή αναλυτικό πεδίο 
• Στο πεδίο λύσης προβλημάτων.

Ο ορισμός της απόλυτης τιμής στα τρία πεδία:

Αριθμητικό πεδίο:	Η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού είναι ο αντίστοιχος θετικός αριθμός ή ο 0.
Γεωμετρικό πεδίο:	Η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού είναι η απόστασή του από το 0.
Αλγεβρικό πεδίο:

Στο αριθμητικό πεδίο, η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού συνδέεται συνήθως με τον ίδιο τον αριθμό και σε σχέση με το πρόσημό του.

|5| = 5, |-5|=5, |-1/2|=1/2, |-√5|=√5 κτλ.

Κατά την διαπραγμάτευση στο πεδίο αυτό οι μαθητές δεν φαίνεται να αντιμετωπίζουν κάποιο ιδιαίτεροι πρόβλημα. 

Η πιο αξιοπρόσεκτη παρανόηση των μαθητών σε αυτό το πεδίο, είναι  ότι συχνά εννοούν την απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού ως τον ίδιο τον αριθμό χωρίς το πρόσημό του. 

Η παρανόηση αυτή μάλλον οφείλεται στο γεγονός ότι οι μαθητές δεν μπορούν να αποδώσουν άλλο νόημα στην απόλυτη τιμή. Μια άρση αυτής της παρανόησης αυτής μπορεί να συμβεί όταν στην έννοια εμπλακεί και το γεωμετρικό πεδίο, στο οποίο η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού εννοείται ως η απόσταση του αριθμού από το 0. Η παρακάτω δραστηριότητα έχει στόχο να αναδείξει την ταυτόχρονη εμπλοκή των μαθητών στο αριθμητικό και στο γεωμετρικό πεδίο.

Δραστηριότητα στο αριθμητικό & γεωμετρικό πεδίο.

Η δραστηριότητα (που ακολουθεί) επιτρέπει στον χρήστη να μετακινεί το σημείο Α και να προσδιορίζει (1) την τετμημένη του στον άξονα R, (2) την απόστασή του από το Ο(0) και (3) την απόλυτη τιμή της τετμημένης του. Δηλαδή, πειραματίζεται ταυτόχρονα με την έννοια στο αριθμητικό και στο γεωμετρικό πεδίο.  Ερωτήματα, όπως

• Ποιοι αριθμοί έχουν απόσταση από το Ο είναι 3,5; Ποια θα είναι η απόλυτη τιμή των αριθμών αυτών;
• Ποιοι αριθμοί έχουν απόλυτη τιμή 4,3; Ποια είναι η απόστασή τους από το Ο;
• Τι θα συμβεί αν μετακινήσω το Α στη θέση με τετμημένη -2.5; Τι απόσταση από το Ο και τι απόλυτη τιμή θα έχει η τετμημένη;

Με αυτόν τον τρόπο, καθώς η δραστηριότητα παρουσιάζει την απόλυτη τιμή ταυτόχρονα στο αριθμητικό και στο γεωμετρικό πεδίο, αναμένεται να μειωθούν οι παρανοήσεις που σχετίζονται με το πρόσημο καθώς η απόσταση βιώνεται ως θετικός αριθμός.

   Στο γεωμετρικό πεδίο η έννοια δεν φαίνεται να παρουσιάζει κάποια ιδιαίτερη δυσκολία, καθώς η απόσταση είναι οικεία προς τους μαθητές και έχουν αρκετές εμπειρίες διαπραγμάτευσης. 

   Οι περισσότερες δυσκολίες εμφανίζονται κατά την διαπραγμάτευση στο αλγεβρικό πεδίο, καθώς απαιτεί χειρισμό συμβόλων, στα οποία συχνά οι μαθητές αδυνατούν να αποδώσουν κάποιο νόημα. Έτσι συχνά καταφεύγουν στην παπαγαλία. Αυτό γίνεται ακόμα πιο εμφανές, όταν οι μαθητές καλούνται να χρησιμοποιήσουν την απόλυτη τιμή σε άλλες έννοιες, όπως του ορίου, με αποτέλεσμα να γίνεται εμπόδιο στην κατανόησή της νέας έννοιας. Ακόμα, μερικές από δυσκολίες δημιουργούνται κατά το πέρασμα των μαθητών από το αριθμητικό στο αλγεβρικό πεδίο, όπου απαιτείται ένα είδος γενίκευσης της έννοιας, των ιδιοτήτων της και των πράξεών της, που συχνά είναι διαφορετικές στα τρία πεδία. Μερικές από τις δυσκολίες οφείλονται και στις διαφορετικές εκδοχές του αναλυτικού ορισμού τις οποίες χρησιμοποιούμε άλλοτε συχνά και άλλοτε λιγότερο συχνά. Συγκεκριμένα:  

1. Ο αναλυτικός ορισμός στο αλγεβρικό πεδίο παραπέμπει σε μια δίκλαδη συνάρτηση, την οποία άλλοτε πρέπει να σκεφτόμαστε ολικά και άλλοτε κατά τμήματα.
2. Η διαπραγμάτευση της ιδιότητας |x|≥x και |x|≥-x, με τον αναλυτικό ορισμό της έννοιας συχνά μας αποτρέπει να την σκεφτούμε ολικά. Η εκδοχή της απόλυτης τιμής ενός αριθμού ως ίση με τον μέγιστο των x και -x,  δηλαδή |x|=max{-x,x}, μας επιτρέπει να αναπτύσσουμε μια άλλη εικόνα για την έννοια.
3. Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση διαπραγμάτευσης της τετραγωνικής ρίζας τετράγωνου αριθμού. Η εκδοχή της απόλυτης τιμής ως |x|= √(x²) μας βοηθά να αναπτύξουμε μια ακόμα ολιστική εικόνα για την έννοια.(http://www.ugr.es/~jgodino/funciones-semioticas/didactic_effectiveness.pdf) 

   Οι Chiarugi, I., Fracassina, G. & Furinghetti, F. (Chiarugi, I., Fracassina, G. & Furinghetti, F.:: 1990, ‘Learning difficulties behind the notion of absolute value’, in Booker, G., Cobb, P. & De Mendicuti, T. N. (editors) Procedings of the PME XIV, v.III, 231-238) ερεύνησαν τα λάθη και τις παρανοήσεις των μαθητών στην απόλυτη τιμή. Ερεύνησαν τις απαντήσεις 274 μαθητών ηλικίας 14, 17 και 19 ετών σε μια σειρά από ασκήσεις και προβλήματα που συνδέονταν με την απόλυτη τιμή. Μερικά από τα λάθη των μαθητών, που εμφανίζονται στο αλγεβρικό πεδίο, δηλώνουν ένα σοβαρό έλλειμμα στην κατανόηση της έννοιας.

• Στην ερώτηση, "ποιοι αριθμοί επαληθεύουν την σχέση |x|=-x", απαντούν μόνο ο 0 καθώς θεωρούν τον αριθμό -x ως αρνητικό καθώς συνδέουν την παρουσία του "-" με τον αρνητικό αριθμό.
• Σε ερώτηση, 'ποιοι αριθμοί επαληθεύουν την σχέση |x|<0", απαντούν x<0, με τον εξής συλλογισμό: Εφόσον |x|<0 τότε x<0. Η απάντηση ερμηνεύεται ως αδυναμία να αποδοθεί το κατάλληλο νόημα στη  δοσμένη σχέση που προέρχεται μάλλον από την μη κατανόηση της αλγεβρικής έννοιας της συνάρτησης.
• Στην ερώτηση, "αν ο χ είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός, πόσοι αριθμοί αναπαριστώνται με την παράσταση |x-1|", η πιο συνηθισμένη απάντηση είναι δύο. 
• Στην ερώτηση, "πόσες λύσεις έχει η εξίσωση |x|=-α, α∈R", πολύ μικρό ποσοστό μαθητών (2%, 17% και 40% αντίστοιχα των τριών ηλικιών) απαντά σωστά, για τον ίδιο λόγο που αναφέρθηκε παραπάνω και βασίζεται στην κυρίαρχη αντίληψή ότι ένα γράμμα χωρίς πρόσημο αναπαριστά πάντοτε ένα θετικό αριθμό. Μπορούν να δικαιολογούν ότι ο –α μπορεί να είναι θετικός  μόνο με τη βοήθεια αριθμητικών παραδειγμάτων. 
• Ερωτήματα του τύπου, "σχεδίασε στον άξονα R το διάστημα των χ που επαληθεύουν την σχέση |x|<2", εύκολα απαντούν καθώς παρεμβαίνει το γεωμετρικό πεδίο. 
• Σε ερωτήματα του τύπου "είναι αληθές ότι |x-1|=x-1, x є R και χ>0" πολλοί μαθητές αδυνατούν να ελέγξουν αριθμούς στο διάστημα (0,1). 
•  Στο πρόβλημα, "Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια πλευρά είναι ίση με 2√α cm και η υποτείνουσα α+1 cm,  α>0. Βρείτε το μήκος της άλλης πλευράς", πολλοί μαθητές ενώ φτάνουν στην εξίσωση x²=(α-1)² αδυνατούν να εκφράσουν το μήκος ως x=|α-1|.

Διδακτική αξιοποίηση

Η κατάρτιση μιας διδακτικής ατζέντας για τη διδασκαλία της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού, πρέπει να λαμβάνει σοβαρά υπόψη της τα παραπάνω. Μερικά συμπεράσματα είναι τα εξής:

• Πρέπει να δίνεται η δυνατότητα στους μαθητές να περνούν σχετικά ομαλά από το αριθμητικό στο αλγεβρικό πεδίο και πάντοτε με τη βοήθεια του γεωμετρικού.
• Όσο πιο πλούσιο είναι το γεωμετρικό πεδίο τόσο μεγαλύτερες είναι οι δυνατότητες οι μαθητές να αναπτύξουν βαθύτερη κατανόηση για την απόλυτη τιμή.
• Η συνύπαρξη και των τριών πεδίων διευκολύνει, κατά την διαπραγμάτευση των θεμάτων, τους μαθητές να αναπτύξουν νοήματα για την έννοια, τις σχέσεις και τις πράξεις.
• Απαιτείται η διάθεση ικανού χρόνου στους μαθητές για την διαπραγμάτευση των θεμάτων με απόλυτες τιμές. 
• Αν η διαπραγμάτευση της έννοιας και των σχέσεων έχει διερευνητικό χαρακτήρα και γίνεται σε πλούσιο ψηφιακό περιβάλλον, τα αποτελέσματα αναμένονται καλύτερα σε σύγκριση με το στατικό περιβάλλον του χαρτιού με το μολύβι.
• Η ύπαρξη και της γραφική παράσταση της f(x)=|x|  στην διαπραγμάτευση ενοποιεί τον αναλυτικό αλγεβρικό ορισμό και από αυτή την άποψη προσφέρεται μια ακόμα δυνατότητα στους μαθητές να σκέφτονται την έννοια ολιστικά.      

Παρακάτω ακολουθούν προτάσεις που έχουν σκοπό να αναδείξουν τα παραπάνω και να διευκολύνουν τον αναγνώστη να συγκροτήσει την δική του διδακτική ατζέντα.

  Προτάσεις για την κατανόηση ιδιοτήτων της απόλυτης τιμής 

 

• Για την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=|x|. Ένας απλός τρόπος κατανόησης της γραφικής παράστασης της f(x)=|x|, που απαιτεί μικρότερο γνωστικό φορτίο προτείνεται στην παρακάτω εφαρμογή. Το σημείο Α κινείται ελεύθερα στον άξονα χχ΄ και εμφανίζεται η τετμημένη του. Το σημείο Β έχει οριστεί στην κάθετη στον χχ' στο Α και σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή της τετμημένης του Α. Καθώς το σημείο Α κινείται στον άξονα, το σημείο Β αφήνει το ίχνος του και οριοθετεί την γεωμετρική (γραφική) αναπαράσταση της |x|.  

• Για την ιδιότητα |x|≥x και |x|≥-x ή |x|=max{x, -x}. Η γεωμετρική αναπαράσταση παρέχει την ευκαιρία στους μαθητές να αναπτύξουν πιο ισχυρές εικασίες και υποθέσεις προς απόδειξη. Μπορούν να επιλέξουν να συνδυάσουν την συνάρτηση f(x)=|x| και την y=x ή την y=-x και καθώς μετακινούν το σημείο Α του άξονα χχ΄ να παρατηρούν τις τεταγμένες των σημείων Β, της f(x) και των Γ και Δ της y=x ή y=-x αντίστοιχα. Η προσπάθεια για ερμηνεία του φαινομένου, το σημείο Β είναι πάντοτε πάνω από το Γ ή το Δ ή ταυτίζεται με αυτά, στις δύο περιπτώσεις οδηγεί, με καλές προοπτικές, στην ανάπτυξη ισχυρών εικόνων για την σχέση. Η γεωμετρική διαπραγμάτευση έχει δύο σκέλη, το |x|≥x και |x|≥-x που αντιστοιχούν στα δύο κουτάκια της εφαρμογής. 

• Για την ιδιότητα √(x²) =|x|. Θεωρείται σημαντική στην αλγεβρική διαπραγμάτευση, είναι ισοδύναμη με τον αλγεβρικό ορισμό και πηγή πολλών λαθών των μαθητών. Οι μαθητές μπορούν να δημιουργήσουν μια καλή εικόνα για την ιδιότητα αυτή με τη βοήθεια της γεωμετρικής αναπαράστασης (γραφικής) στην παραπάνω εφαρμογή. Επιλέγοντας το κουτί sqrt(x²) μπορούν να παρατηρήσουν ότι οι δύο συναρτήσεις f(x)=|x| και g(x)=√(x²) ταυτίζονται και έχουν την ίδια σχέση με τις y=x και y=-x. 

 Συχνά η διαπραγμάτευση ενός θέματος και στα τρία πεδία διευκολύνει την κατανόηση αλλά και την ανάπτυξη στρατηγικών καθώς κάθε πεδίο συνεισφέρει με τις ιδιαίτερες δομές του στην αποσαφήνιση των σχέσεων.Το παράδειγμα που ακολουθεί αυτό δηλώνει.

Ποιοι πραγματικοί αριθμοί επαληθεύουν την |x-2|>1; 

• Διαπραγμάτευση στο αριθμητική πεδίο:

α) Με αριθμητικά παραδείγματα με σκοπό να σχηματιστεί μια εικασία.
 

x	...	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	...
|x-2|	...	6	5	5	3	2	1	0	1	2	3	...

Αριθμητικά παραδείγματα όπως τα παραπάνω βοηθούν να οριοθετηθεί ως ένα βαθμό η λύση. Δηλαδή, ο πίνακας τιμών μπορεί να βοηθήσει να αναπτυχθεί μια εικασία, ότι επαληθεύεται για αριθμούς μεγαλύτερους του 3 και αριθμούς μικρότερους του 1. Η εικασία είναι ασθενής, αφενός γιατί σχηματίστηκε από μερικά παραδείγματα και αφετέρου δεν δηλώνει κάποιο τρόπο γενίκευσης. Θα ισχυροποιηθεί με διαδικασίες που δηλώνουν ένα είδος γενίκευσης όπως με τον συνδυασμό του αριθμητικού και γεωμετρικού πεδίου σε ένα ψηφιακό περιβάλλον όπως το παρακάτω.

• Διαπραγμάτευση στο αριθμητική πεδίο και γεωμετρικό πεδίο:

Οι μαθητές μπορούν να σύρουν το σημείο Α και να παρατηρούν την απόστασή του από το Β και ταυτόχρονα την απόλυτη τιμή |x-2|.  Όταν ικανοποιείται η σχέση |x-2|>1 εμφανίζονται τα διαστήματα στα οποία μπορεί να κινείται το σημείο Α με χρώμα μοβ. Όταν ικανοποιείται η |x-2|≤1 εμφανίζεται το διάστημα στο οποίο ικανοποιείται με μπλε χρώμα. Η παρατήρηση αυτή οριοθετεί με σαφήνεια την λύση x≤1 ή x≥3 και το μόνο που μένει είναι μια αναλυτική προσέγγιση και ερμηνεία.

•  Διαπραγμάτευση στο αλγεβρικό και γεωμετρικό πεδίο

Μια άλλη εκδοχή αφορά την διαπραγμάτευση ταυτόχρονα στο αλγεβρικό και στο γεωμετρικό πεδίο. Η παρουσία της γραφικής αναπαράστασης των συναρτήσεων f(x)=|x-2| και g(x)=1) ενισχύεται η διαδικασία της συναρτησιακής επεξεργασίας και είναι πιο κοντά στην αναλυτική (αλγεβρική) διαπραγμάτευση. Στην παρακάτω εφαρμογή, το γραμμοσκιασμένο μέρος δηλώνει την περιοχή του επιπέδου που τα σημεία της επαληθεύουν την ανίσωση |x-2|>1. Το σημείο Γ είναι σημείο ελέγχου. Αλλάζει χρώμα ανάλογα με το αν η τετμημένη του ικανοποιεί ή όχι την ανίσωση.

• Διαπραγμάτευση στο αλγεβρικό πεδίο

Η διαπραγμάτευση στο αλγεβρικό πεδίο - που παρουσιάζει και τις πιο πολλές δυσκολίες για τους μαθητές - αναφέρεται στον αναλυτικό ορισμό της απόλυτης τιμής. Με τη βοήθεια του αλγεβρικού ορισμού μπορεί να αναπτυχθεί η παρακάτω διαδικασία.

 

Έτσι οι λύσεις x<1 ή x>3 προκύπτουν ως απόρροια της διαπραγμάτευσης μιας συνάρτησης διπλού τύπου, δηλαδή με την μέθοδο των περιπτώσεων. 

Το ίδιο ισχύει αν κανείς αξιοποιήσει την ιδιότητα |x|>θ ⇔x>θ ή x<-θ. Πίσω από αυτή υπάρχει ο αναλυτικός ορισμός του αλγεβρικού πεδίου που συχνά υποστηρίζεται και με μια γεωμετρική αναπαράσταση. Η απλή εφαρμογή της ιδιότητας δεν σημαίνει ότι έχει κατανοηθεί.   

Στα παραπάνω αναφερθήκαμε στα τρία πεδία διαπραγμάτευσης, αριθμητικό, γεωμετρικό και αλγεβρικό και δώσαμε έμφαση στην έννοια της απόλυτης τιμής. Στο πεδίο της λύσης προβλήματος, διαπραγματευόμαστε την απόλυτη τιμή συνήθως όταν επεξεργαζόμαστε τη λύση μιας εξίσωσης ή ανίσωσης ή όταν διαπραγματευόμαστε την διαφορά μιας μεταβολής, όταν δεν απαιτείται το πρόσημο της διαφοράς. 

Παράδειγμα:

Στον μετεωρολογικό κλωβό. 

Σε ένα μετεωρολογικό κλωβό δίνεται σήμα συναγερμού όταν η διαφορά δύο διαδοχικών ενδείξεων της ατμοσφαιρικής πίεσης είναι μεγαλύτερη από 40 μονάδες (hpa). Σύμφωνα με τους μετεωρολόγους, όταν η ατμοσφαιρική πίεση είναι 1050 μονάδες (hpa) η περιοχή έχει καλοκαιρία (αντικυκλώνας) ενώ όταν είναι 970 μονάδες (hpa) η περιοχή έχει ισχυρή κακοκαιρία (βαρομετρικό χαμηλό).  Την συγκεκριμένη χρονική στιγμή η ένδειξη είναι 1013 μονάδες (hpa). Πότε θα δοθεί σήμα συναγερμού; Για περισσότερα, πληροφορίες:  http://5dim-pyrgou.ilei.sch.gr/climate/html/pressure.htm      https://en.wikipedia.org/wiki/Atmospheric_pressure  http://www.meteovolos.gr/lexiko.htm

 Για τη λύση, καθώς δεν ενδιαφερόμαστε αν έχουμε αύξηση ή μείωση της πίεσης, η μαθηματική έκφραση μπεί να δοθεί με με τη βοήθεια της απόλυτης τιμής. Αν x είναι η ένδειξη, συναγερμός θα δοθεί όταν |x-1013|>40. 

κγ