Για την έννοια της συνάρτησης

Διδακτικές προσεγγίσεις

 

1. Εισαγωγή

Ένα σημαντικό θέμα των σχολικών Μαθηματικών είναι η έννοια της συνάρτησης. Κυριολεκτικά κυριαρχεί στα σχολικά Μαθηματικά και όχι μόνο. Αν και τυπικά είναι θέμα της Άλγεβρας, εμπλέκεται στην Γεωμετρία, στη Αριθμητική, στην Φυσική και σε πολλά άλλα γνωστικά αντικείμενα. Ο λόγος είναι απλός: Οι συναρτήσεις διαπραγματεύονται τις ποσοτικές μεταβολές μεγεθών τα οποία συσχετίζονται με κάποιο τρόπο.

2. Ένα διαισθητικό πλαίσιο για την έννοια της συνάρτησης. 

 

 Οι διαισθήσεις  είναι χαρακτηριστικά γνωρίσματα της γνώσης ενός μαθητή που συνήθως προκύπτουν από την καθημερινή του εμπειρία. Γενικά, οι γνώσεις αυτές φαίνεται να υπάρχουν πριν από τη συγκεκριμένη επίσημη διδασκαλία. Στην εκπαίδευσης των μαθηματικών οι διαισθήσεις ([1], [2]) θεωρούνται θετικά στοιχεία όπου γύρω από αυτά χτίζεται η διδασκαλία και η μάθηση (G. Leinhardt, O. Zaslavsky, M. Stein (1990). Functions, Graphs, and Graphing: Tasks, Learning, and Teaching. Review of Educational Research Spring 1990. Vol. 60. No, 1, pp. 1-64).
   Καθώς το θέμα των συναρτήσεων είναι εξαιρετικά σύνθετο [(1) συνδέεται με πολλές και σύνθετες έννοιες των μαθηματικών, όπως μεταβλητή, αύξηση, όριο, ακρότατα,συνέχεια, (2) εμφανίζει πολλές και διαφορετικές αναπαραστάσεις (γραφική, αλγεβρική, αριθμητική) και (3) αναφέρεται σε διάφορα φυσικά φαινόμενα και καταστάσεις], οι διαισθήσεις των μαθητών που συνδέονται με τις συναρτήσεις προέρχονται από πολλές πηγές, εν μέρει πραγματοποιούνται και δύσκολα συντονίζονται.  
   Στα σχολικά μαθηματικά, το εννοιολογικό πεδίο της έννοιας συγκροτείται από μερικές απλούστερες έννοιες που έχουν ένα αρχέγονο ρόλο στην συγκρότησή της, αντιστοιχίζονται με σχετικές διαισθητικές γνώσεις των μαθητών και εξ' αυτού συντονίζονται ευκολότερα. Πιο συγκεκριμένα για την προσέγγιση της έννοιας της συνάρτησης είναι απαραίτητο προηγουμένως να έχουν συζητηθεί οι έννοιες της μεταβολής (ποιοτικής και ποσοτικής), της συμμεταβολής, της αντιστοιχίας και της σχέσης.  

Ένας εννοιολογικός χάρτης για το διαισθητικό
πλαίσιο της συνάρτησης

   Οι βασικές αυτές έννοιες συγκροτούν ένα διαισθητικό πλαίσιο για την έννοια της συνάρτησης.
   Το θέμα της ενοποίησης των βασικών αυτών εννοιών συνδέεται με την κατασκευή της έννοιας της  συνάρτησης. Οι μαθητές πρέπει να εμπλέκονται σε διαδικασίες που ευνοούν τις συνδέσεις μεταξύ των διαφορετικών διαισθήσεων και εμπειριών που εμπλέκονται στη δράση του μαθητή. Η διδασκαλία πρέπει να βοηθά τους μαθητές να αναζητούν και να συντονίζουν αυτές τις διαισθήσεις (1) στο κέλυφος της δραστηριότητας - δηλαδή στη χρήση των εργαλείων και της γλώσσας, (2) στις ανταλλαγές πληροφοριών και στον τρόπο συντονισμού των πληροφοριών από τις διάφορες  αναπαραστάσεις και (3) στις αιτιολογήσεις που κάνουν για τον τρόπο που συντονίζουν αυτές τις διαισθήσεις. Μια καλή κατά τη γνώμη μας εστίαση της διδασκαλίας πρέπει να αφορά την κατασκευή μιας Gestalt μορφής (ολότητας) για την συνάρτηση.

•  Για την έννοια της μεταβολής

Για την έννοια της μεταβολής όλοι μας έχουμε εμπειρίες (αλλαγή, αύξηση - μείωση, κτλ) και γνωρίζουμε πώς να την αξιοποιούμε στους συλλογισμούς μας και στις εκφράσεις μας (συσχέτιση, πιο μεγάλο από, πιο μικρό από, ίσο με, διπλάσιο, τριπλάσιο, μισό, κ.ά.). Πολλές, σχετικές με τις μεταβολές εμπειρίες μας, σχετίζονται με τον χρόνο και τα χρονικά συμβάντα (αλλαγές στη διάρκεια του χρόνου, περιοδικά φαινόμενα κ.ά.). Οι ποιοτικές μεταβολές αναφέρονται σε αλλαγές που δεν μπορούν να εκφραστούν με την χρήση αριθμητικών δεδομένων (μεταβολές στην χαρά και στη λύπη, στην πείνα και στη χόρταση κ.ά.). Για την περιγραφή τους χρησιμοποιούμε όρους όπως αύξηση, μείωση, διόγκωση, κ.ά. Οι ποσοτικές μεταβολές περιγράφονται με αριθμητικά δεδομένα. Και γι' αυτές χρησιμοποιούμε όρους όπως αύξηση - μείωση, αλλά η περιγραφή τους μπορεί να είναι πιο στοχευμένη αν οι μεταβολές ακολουθούν ένα μοτίβο.

  

Δραστηριότητα για την ποσοτική μεταβολή.

 

   Στην παρακάτω εφαρμογή το σημείο Β είναι σταθερό και το σημείο Γ κινείται στον κύκλο Α. Καθώς το Γ κινείται στον κύκλο μπορούμε να παρατηρούμε την μεταβολή του μήκους ΒΓ. Τα διαισθητικά στοιχεία δημιουργούνται από την αλλαγή της θέσης του σημείου Γ που συμπαρασύρει και το μήκος ΒΓ.
   Στον πίνακα τιμών, οι εγγραφές στη στήλη Α, περιγράφουν τους πρώτους 9 φυσικούς αριθμούς της ακολουθίας Fibonacci. Χωρίς την διατύπωση του προβλήματος ή την σύνδεση της ακολουθίας με μια κατάσταση τα διαισθητικά στοιχεία για την μεταβολή θα βασίζονται στην οπτική διαδρομή από το ένα στο άλλο κελί χωρίς να αποδίδεται κάποιο βαθύτερο νόημα. Στη στήλη Β ο αναγνώστης του άρθρου μπορεί να εγγράψει δεδομένα που προέρχονται από μια συγκεκριμένη κατάσταση που περιγράφεται με κάποιο τρόπο (π.χ. λεκτικά) και να συγκρίνει τα διαισθητικά νοήματα που θα αναπτυχθούν για την μεταβολή αυτή.      

Παρατηρήστε τις μεταβολές των εγγραφών στη στήλη του πίνακα και περιγράψτε με τον δικό σας τρόπο τις μεταβολές των εγγραφών.

Μερικά ερωτήματα που μπορούν να τεθούν στους μαθητές καθώς και οι αναμενόμενες ενέργειες και απαντήσεις τους.

https://drive.google.com/file/d/0BxM3z3I3w2xnd3lWdHpVWlc3ZzQ/view?usp=sharing 

• Για την συσχέτιση των μεταβολών (συμμεταβολές)

Στην παραπάνω εφαρμογή, η παρατήρηση των αριθμητικών εγγραφών ακολουθεί μια συσχέτιση μεταξύ της θέσης του κάθε κελιού στο σύνολο της στήλης (ή της θέσης στην ακολουθία: 1o, 2o, κτλ) και της αντίστοιχης εγγραφής. Επίσης ανάλογα, κατά την κίνηση του σημείου Γ στον κύκλο, κάθε φορά συσχετίζεται η θέση του στον κύκλο με την απόσταση ΒΓ. Και στις δύο περιπτώσεις εγκαθίσταται από τον χρήστη κάποιου είδους άτυπης συσχέτισης των αριθμητικών μεταβολών με κάποιο άλλο μέγεθος (σειρά κελιών ή θέση στον κύκλο). Αυτές, οι άτυπες συσχετίσεις έχουν δύο χαρακτηριστικά. Ένα τοπικό χαρακτηριστικό, που εκφράζεται μέσω της αντιστοιχίας μερικών δεδομένων των δύο μεταβολών, και ένα ολικό χαρακτηριστικό των μεταβολών, που συνήθως εκφράζεται με όρους που εκφράζουν μια γενικότητα (για παράδειγμα, όταν αυξάνουν οι τιμές της μιας ποσότητας αυξάνουν και της άλλης ή καθώς οι τιμές της μιας αυξάνουν οι τιμές της άλλης αρχικά αυξάνουν, φτάνουν στη μέγιστη τιμή και μετά ελαττώνονται).

  Η  έννοια της συνάρτησης στο σχολικό πρόγραμμα συχνά εμφανίζεται αποκομμένη από την έννοια της σχέσης και την διαδικασία της συσχέτισης. Είναι καλό, κατά τη διδασκαλία της συνάρτησης, να αξιοποιούνται κατάλληλα οι άτυπες και διαισθητικές συσχετίσεις των μαθητών για συμμεταβαλλόμενα μεγέθη και ιδιαίτερα αυτές που προέρχονται από τις εμπειρίες τους.

Δραστηριότητες για τις συσχετίσεις

Οι εμπειρίες των μαθητών μπορούν να αξιοποιηθούν κατά τη μαθητές μπορούν να έλθουν σε επαφή με την έννοια από τις μικρές ηλικίες, καθώς μπορούν να διαπραγματεύονται και να εκφράζουν αλλαγές σε αριθμητικές και άλλες ποσότητες. Αποκτώντας σταδιακά εμπειρίες με τις συμμεταβολές ποσοτήτων μπορούν να οδηγηθούν, μέσω κατάλληλης εκπαίδευσης στην μαθηματικοποίηση της έννοιας. Η ψηφιακή τεχνολογία μπορεί να βοηθήσει στην απόκτηση τέτοιων εμπειριών.

[Επιλέξτε "Εμπειρίες Συσχετίσεων 1" και αφού κινήσετε τα σημεία "Ύψος Στάθμης Υγρού" και "Αυτοκίνητο" εξετάστε τι άλλο αλλάζει και εκφράστε τις μεταβολές των μεγεθών με κάποιο τρόπο. Παρατηρήστε, ότι καθώς περιγράφουμε την κίνηση του αυτοκινήτου από την αφετηρία προς το τέρμα, συχνά χρησιμοποιούμε όρους όπως, τώρα απέχει τόσο, μετά τόσο, πιο μετά τόσο, λίγο πριν το τέλος τόσο κ.ο.κ. οι οποίοι εκφράζουν μια μεταβολή στο χρόνο. Ανάλογα ισχύουν και στο περιβάλλον "Εμπειρίες Συσχετίσεων 2". Εδώ αναμένεται να παρατηρήσετε ότι στο ημικύκλιο η μια μεταβολή είναι σταθερή.

Επιλέξτε "Αριθμητικές Συσχετίσεις" και απαντήστε στα ερωτήματα. Κάθε φορά που πληκτρολογούμε ένα αριθμό, παρατηρούμε το αποτέλεσμα και το συσχετίζουμε με το δεδομένο αποτέλεσμα Α].

           Μερικά ερωτήματα που μπορούν να τεθούν στους μαθητές καθώς και οι αναμενόμενες ενέργειες και απαντήσεις τους.

 

https://drive.google.com/file/d/0BxM3z3I3w2xneUR0aXVrTW1nNW8/view?usp=sharing

• Για τη αντιστοιχία τιμών συμμεταβαλλόμενων μεγεθών

 Μια κατάσταση ή ένα πρόβλημα χαρακτηρίζεται ως συναρτησιακό όταν τουλάχιστον δύο μεγέθη  συμμεταβάλλονται με κάποιο τρόπο. Αυτή η συμμεταβολή συχνά εκφράζεται με την αντιστοίχηση των τιμών των δύο μεταβαλλόμενων ποσοτήτων. Αν χ και ψ είναι τα δύο μεταβαλλόμενα μεγέθη η σχέση

$$\chi \to \psi =\; f(x)$$

δηλώνει την αντιστοίχηση της τιμής της μεταβλητής  χ στην τιμή της μεταβλητής ψ που προκύπτει από την τιμή της μεταβλητής χ. Αυτή η αντιστοίχηση έχει τις εξής εκδοχές: 

• Μια τιμή της μεταβλητής χ σε μια τιμή της μεταβλητής ψ (Ένα → Ένα).
• Μια τιμή της μεταβλητής χ σε πολλές τιμές της μεταβλητής ψ (Ένα → Πολλά).
• Πολλές τιμές της μεταβλητής χ σε μια τιμή της μεταβλητής ψ (Πολλά → Ένα)

Στο πρόγραμμα σπουδών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης η έννοια της συνάρτησης ορίζεται ως μια αντιστοιχία  Ένα → Ένα ή καλύτερα (κάθε Ένα → Ένα).

Δραστηριότητα για τις αντιστοιχίες. 

Στην εφαρμογή που ακολουθεί μπορεί ο αναγνώστης του άρθρου να δει τις τρεις εκδοχές αντιστοίχησης.

3. Το διδακτικό πρόβλημα.

Από τις παραπάνω αναφορές, αλλά και γενικότερα, η έννοια της συνάρτησης προσεγγίζεται με δύο τρόπους.  Είτε ως συμμεταβολή δύο μεγεθών, είτε ως αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων, τα οποία προσδιορίζονται από τα πεδία μεταβολής των δύο μεταβλητών.

   Ανεξάρτητα από τον ορισμό της έννοιας που μπορεί κανείς να βρει σε πανεπιστημιακά συγγράμματα, το διδακτικό πρόβλημα στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση είναι υπαρκτό.    

• Ποια από τις δύο προσεγγίσεις - (1) συνάρτηση ως συμμεταβολή και (2) συνάρτηση ως αντιστοιχία - πρέπει να επιλέγεται για την διδασκαλία της έννοιας στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση;
• Τι είδους πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα έχει κάθε μια από τις δύο προσεγγίσεις.

    Στην ενδιαφέρουσα ιστοσελίδα "Key ideas in teaching mathematics" που αντιστοιχεί στο βιβλίο "Watson, A., Jones, K. and Pratt, D. (2013). Key Ideas in Teaching Mathematics: Research-based Guidance for ages 9 - 19. Oxford University Press", η ενότητα "Functional relations between variables" διαπραγματεύεται το θέμα των συναρτησιακών σχέσεων υπό το πρίσμα των γνώσεων που έχουν προκύψει από την πληθώρα των σχετικών ερευνών στο πεδίο των σχολικών μαθηματικών. Όπως αναφέρουν οι συγγραφείς, "Αν και η έρευνα μας έχει δώσει αρκετές γνώσεις σχετικές με τις δυσκολίες των μαθητών στη μάθηση των συναρτήσεων, δεν έχουμε ακόμα απαντήσεις για το ποιες είναι οι «καλύτερες» μέθοδοι διδασκαλίας ή πιο πρόγραμμα σπουδών είναι περισσότερο αποτελεσματικό." Και ακόμα, "μια πλήρης κατανόηση των συναρτήσεων, τόσο ως μαθηματική έννοια όσο και ως εργαλείο για την μοντελοποίηση, χρειάζεται πολλά χρόνια για να αναπτυχθεί και οι μαθητές χρειάζονται μια ποικιλία εμπειριών.
Στη ίδια ιστοσελίδα, οι συγγραφείς διαπραγματεύονται τις συναρτησιακές σχέσεις υπό το πρίσμα πέντε θεμάτων:

• Συναρτησιακές μηχανές,  (ως μηχανές εισόδου --> εξόδου, καθώς κάθε συνάρτηση για κάθε τιμή εισόδου δημιουργεί μια τιμή ως έξοδο)
• Γενίκευση σχέσεων, (ως έκφραση μεταξύ ανεξάρτητης και εξαρτημένης μεταβλητής)
• Επίλυση εξισώσεων, (ως ποσοτικές ισότητες μεταξύ δύο εκφράσεων)
• Πολυωνυμικοί συντελεστές, (ως στοιχεία που εκφράζουν ιδιότητες των συναρτήσεων)
• Συναρτήσεις ως μαθηματικά αντικείμενα  (ως αντικείμενα που μπορούν να μετασχηματίζονται, σε συνδυάζονται, να ταξινομούνται και να κατηγοριοποιούνται ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους)
• Μοντελοποίηση (ως βασικά εργαλεία που επιτρέπουν στους ανθρώπους να τα χρησιμοποιούν  για την κατανόηση των διαδικασιών και των μοτίβων που αφορούν ποσότητες).

   Σύμφωνα με τους J. Confrey  και  E. Smith, [Confrey J. & Smith  E., (1995). Splitting Covariation, and Their Role in the Development of Exponential Functions. Journal for Research in Mathematics Education Vol. 26, No. 1, pp. 66-86]  στο συμβατικό πρόγραμμα σπουδών των Μαθηματικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, οι συναρτήσεις εξουσιάζονται από μια προσέγγιση αντιστοιχίας, όπου μια συνάρτηση περιγράφεται μέσω ενός κανόνα (π.χ. f(x)=3x+2). Η προσέγγιση της αντιστοιχίας οδηγεί σε μια πλήρη εξάρτηση από τις αλγεβρικές αναπαραστάσεις και στην παραμέληση των πινάκων και των γραφημάτων για την οικοδόμηση μιας κατανόησης των συναρτήσεων. Σε μια προσέγγιση συμμεταβολής, όπου παράγεται ένας πίνακας τιμών, μια συνάρτηση γίνεται κατανοητή ως αντιπαράθεση των τιμών των δύο στηλών. Δηλαδή, αφού περιγραφεί ένα μοτίβο τιμών μέσα σε κάθε μια στήλη, οι τιμές των δύο στηλών μπορούν να συντονιστούν προκειμένου να απαντηθούν ερωτήματα σχετικά με την κατάσταση που παράγει τον πίνακα.
   Η συμβατική προσέγγιση της διδασκαλίας, που προτάσσει την αλγεβρική αναπαράσταση y=f(x) της συνάρτησης δημιουργεί μεταξύ των άλλων μια σειρά από συγχύσεις και παρερμηνείες,  (όπως αναφέρεται στο  Sajka, M. (2003) A secondary school student’s understanding of the concept of function – A case study.  Educational Studies in Mathematics , 53(3), 229–254.)

• f είναι ετικέτα.
• f (y) και f (β) είναι διαφορετικές συναρτήσεις.
• f (x) είναι ο τύπος μιας συνάρτησης.
• f (3) σημαίνει ότι η συνάρτηση έχει τιμή 3.
• f(x+y) = f(x) + f(y).
• f (y) είναι η τεταγμένη.
• f(x) = g(x) είναι μια οδηγία για να βρεθεί ο άγνωστος.
• f (x) είναι η γραφική παράσταση.
• f (x) σημαίνει «ο f πολλαπλασιάζεται με το x».  

 Η όποια διδακτική πρόταση πρέπει να δίνει ευκαιρίες τους μαθητές:

• Να διαπραγματεύονται την έννοια στο πλαίσιο πραγματικών ή εικονικών καταστάσεων - προβλημάτων (πλαίσια) που έχουν νόημα γι' αυτούς. 
• Να συντονίζουν τις διαισθητικές τους γνώσεις για τις βασικές έννοιες που συγκροτούν την έννοια της συνάρτησης.
• Να εμπλέκονται με τις διάφορες αναπαραστάσεις των δεδομένων της κατάστασης και να μετακινούνται από την μια στην άλλη και να τις ερμηνεύουν στο πλαίσιο αναφοράς.
• Να εκφράζουν τις μεταβολές και τις σχέσεις στο πλαίσιο της κατάστασης.
• Να κάνουν προβλέψεις για την εξέλιξη των μεταβολών της κατάστασης.
• Να κάνουν γενικεύσεις για τη δομή των μεταβολών.   

 κγ