Κυριακή 18 Σεπτεμβρίου 2016

Η εφαπτομένη της εκθετικής συνάρτησης

f(x)=αeκx

Μελέτη περίπτωσης

 

 Εισαγωγή


Η αξιοποίηση λογισμικών δυναμικού χειρισμού στη μάθηση και την διδασκαλία των μαθηματικών, όπως το geogebra, προσφέρει πλούσιες δυνατότητες διερεύνησης μαθηματικών φαινομένων [1], [2], [3] μέσω πολλαπλών αναπαραστάσεων και του χειρισμού τους σε πραγματικό χρόνο. Αυτό έχει ως συνέπεια αφενός να αναπτύσσονται από τους μαθητές εικασίες ([1], [2], [3], [4], [5], [6]) και νοήματα ([1], [2], [3]) γύρω από τα μαθηματικά αντικείμενα και τις σχέσεις τους και αφετέρου να εξουσιοδοτούνται οι ίδιοι να θέτουν νέα ερωτήματα, συχνά πιο πολύπλοκα, και τα διερευνούν.

   Το θέμα που μελετάμε εδώ αφορά τις ιδιότητες της εφαπτομένης της συνάρτησης f(x)=αeκx+β σε σημείο της και την πολυπλοκότητα που δημιουργείται από την διερεύνηση μέσω του λογισμικού geogebra.
   Η καινοτομία που προτείνει αφορά (1) την μελέτη ενός μαθηματικού φιανομένου που προκύπτει από την εφαπτομένη της εκθετικής συνάρτησης f(x)=ex σε ένα σημείο της και από την τομή της με τον άξονα χχ', (2) στην  απόδειξη του φαινομένου αλγεβρικά και (3) στην διερεύνηση του φαινομένου αφενός στην f(x)=αeκx+β και αφετέρου σε δύο συναρτήσεις f(x)=αeκx+β και g(x)=γeλx+δ  και στην αλγεβρική απόδειξη όποιων εικασιών δημιουργηθούν. Για κάθε περίπτωση παρουσιάζεται μια σύντομη μαθησιακή και διδακτική ανάλυση.
   Η μάθηση συντελείται με τη βοήθεια του σχήματος

ΕΞΕΡΕΥΝΣΗ  ---> ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΙΚΑΣΙΩΝ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ) --->  ΑΠΟΔΕΙΞΗ 

   Η προστιθέμενη αξία αυτής της πρότασης, οφείλτεται στο γεγονός ότι:
  • Προσφέρει μία βαθύτερη κατανόηση και εξοικείωση με την συγκεκριμένη συνάρτηση.
  • Εμπλέκει τους μαθητές στην μετάφραση από την γραφική στην αλγεβρική αναπαράσταση του φαινομένου.
  • Απαιτεί από τους μαθητές να αναπτύξουν τις δικές τους εικασίες και να τις αποδείξουν αλγεβρικά.

Το περιβάλλον


 Στον παρακάτω μικρόκοσμο εμφανίζεται η συνάρτηση f(x)=eκx και η εφαπτομένη της σε ένα σημείο Β το οποίο ορίζεται από την κάθετη h στο σημείο Α. Η εφαπτομένη τέμνει τον άξονα χχ΄στο σημείο Δ και έτσι ορίζεται το τμήμα ΑΔ. Ο χρήστης μπορεί να μετακινεί το σημείο Α στον άξονα και να επιλέγει άλλο σημείο επαφής. Με τον δρομέα κ μπορεί να μεταβάλει τον συντελεστή κ του χ της συνάρτησης.
   Οι επιλογές στα κουτάκια "Εκδοχή 1κα" και "Εκδοχή 1καβ" δίνουν την δυνατότητα να μεταβάλλονται οι συντελεστές κ, α και β της συνάρτησης f(x)=αeκx+β.
   Η επιλογή "Εκδοχή 2" επιτρέπει στον χρήστη να εξετάσει το ίδιο θέμα για τις συναρτήσεις f(x)=αeκx+β  και g(x)=γeλx+δ και για το τμήμα που ορίζουν οι εφαπτόμενες στα σημεία Β και Γ που τέμνονται από την ευθεία h.   


 

Εξερευνήσεις, εικασίες και αποδείξεις


Η εξερεύνηση του μικρόκοσμου μπορεί να είναι ελεύθερη, όπου ο χρήστης - μαθητής μπορεί ελεύθερα να μεταβάλει τα μη σταθερά στοιχεία του,  όπως ο ίδιος το αντιλαμβάνεται. Σε αυτή την περίπτωση αναμένεται οι χωρίς σχέδιο αρχικές εξερευνήσεις του να εξελιχθούν και να εστιάσουν σε συγκεκριμένα ζητήματα στο πλαίσιο της εξέτασης εικασιών και αντιλήψεων που αναπτύσσονται στο πλαίσιο αυτό. [Ferdinando Arzarello, Federica Olivero, Domingo Paola, Ornella Robutti (2002). A cognitive analysis of dragging practises in Cabri environments. ZDM, Volume 34, Issue 3, pp 66–72]. Ωστόσο μπορούν να δοθούν κατάλληλα ερωτήματα για την έναρξη της εξερεύνησης και με σκοπό αυτή να εστιάσει στο κύριο θέμα της δραστηριότητας.

  • Αρχική εκδοχή ( Συνάρτηση f(x)=eκx )


Ερωτήματα:

Καθώς κινείτε το σημείο Α αλλάζει το σημείο τομής της ευθείας h: x=x(A) και κατ' επέκταση το σημείο επαφής Β.  Για κ=1 η συνάρτηση είναι η f(x)=ex. Η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο Β τέμνει τον χχ' στο Δ.
          - Τι ισχύει για το τμήμα ΑΔ, καθώς μετακινείτε το σημείο Α;
          - Μπορείτε να αποδείξετε αλγεβρικά τον ισχυρισμό σας;
Αναμενόμενες εικασίες:

          -  Το μήκος του τμήματος ΑΔ παραμένει σταθερό καθώς αλλάζει θέση το σημείο Α.
          -  Το μήκος του ΑΔ είναι ίσο με 1 και αυτό οφείλεται στην τιμή του κ που είναι ίση με 1.

Αναμενόμενη αλγεβρική απόδειξη:

Συνάρτηση:   f(x)=ex
 Σημείο επαφής: B=(xo,f(xo))
Εξίσωση εφαπτομένης: ψ-f(xo )=exo(x-xo)
Σημείο τομής με χχ’: χ=χo-1
Τμήμα ΑΔ: (ΑΔ)=∣(χo-1)-χo ∣=1

Νέα ερωτήματα:
Επιλέξτε άλλες τιμές για τον δρομέα κ και ελέγξτε αν ισχύει το συμπέρασμά σας. Για παράδειγμα εξετάστε ΄για την τιμή κ=1,5 ή κ=0,5 ή κ=-1 ή κ=-1,5 ή κ=-0,5 ή κ=-2.
Αναμενόμενες εικασίες:

          -  Το μήκος του τμήματος ΑΔ παραμένει σταθερό καθώς αλλάζει θέση το σημείο Α.
          -  Το μήκος του ΑΔ εξαρτάται από την τιμή του κ.

κ
 (ΑΔ)
 1,5
0,67
0,5
2
-1
1
-1,5
0,67
-0,5
2
-2
0,5
             Από τα προτεινόμενα παραδείγματα φαίνεται να ισχύει ότι το μήκος (ΑΔ μάλλον είναι
             αντίστροφο της απόλυτης τιμής του κ

Αναμενόμενη αλγεβρική απόδειξη:

Συνάρτηση:   f(x)=eκx
 Σημείο επαφής: B=(xo,f(xo))
Εξίσωση εφαπτομένης: ψ-f(xo )=κeκxo(x-xo)
Σημείο τομής με χχ’: χ=(κχo-1) ⁄ κ
Τμήμα ΑΔ: (ΑΔ)=∣(κχo-1)  ⁄ κ) -χo ∣=∣1 ⁄ κ ∣

  • Η "Εκδοχή 1κα" ( Συνάρτηση f(x)=αeκx )

Ερωτήματα:

Επιλέγοντας το κουτί "Εκδοχή 1κα" εμφανίζεται ο δρομέας α. Μπορείτε να επιλέγετε διάφορες τιμές και να έχετε μια διαφορετική εκδοχή της συνάρτησης. 
         - Ισχύουν τα συμπεράσματα της αρχικής εκδοχής για τις διάφορες τιμές του α. Επιλέξτε για   
           παράδειγμα τις τιμές α=0,5, α=2, α=2,5, α=-1, α=-0,25, α=-2 και α=-1,5.

Αναμενόμενες εικασίες:

          -  Το μήκος του τμήματος ΑΔ παραμένει σταθερό καθώς αλλάζει θέση το σημείο Α και το
              μήκος του εξαρτάται από την τιμή του κ.
     

Αναμενόμενη αλγεβρική απόδειξη:

Συνάρτηση:   f(x)=αeκx
 Σημείο επαφής: B=(xo,f(xo))
Εξίσωση εφαπτομένης: ψ-f(xo )=ακeκxo(x-xo)
Σημείο τομής με χχ’: χ=(κχo-1) ⁄ κ
Τμήμα ΑΔ: (ΑΔ)=∣(κχo-1)  ⁄ κ) -χo ∣=∣1 ⁄ κ ∣

          Στην απόδειξη διαπιστώνεται ότι ο α απλοποιείται και έτσι επιβεβαιώνεται ότι δεν
          παρεμβαίνει στον καθορισμό του ΑΔ.

  • Η "Εκδοχή 1καβ" ( Συνάρτηση f(x)=αeκx+β)

Ερωτήματα:

Επιλέγοντας το κουτί "Εκδοχή 1καβ" εμφανίζεται και ο δρομέας β. Μπορείτε να επιλέγετε διάφορες τιμές για τους τρεις δρομείς και να έχετε μια διαφορετική εκδοχή της συνάρτησης. 
         - Ισχύουν τα συμπεράσματα της αρχικής εκδοχής για τις διάφορες τιμές του α και του β; 
           Επιλέξτε για παράδειγμα τις τιμές κ=1, α=1 και β=1.

Αναμενόμενες εικασίες:

          -  Το μήκος του τμήματος ΑΔ μεταβάλλεται καθώς αλλάζει θέση το σημείο Α. Το μήκος του
             ΑΔ εξαρτάται από την θέση του Α στον χχ' ή από την τιμή της τετμημένης του σημείου Β.

 χ(Α)
 (ΑΔ)
-2
8,64
-1
3,51
0
2
1
1,37
2
1,13
3
1,05

Φαίνεται ότι το μήκος του ΑΔ, όταν οι τιμές του β μειώνονται προς το -∞ και τείνουν στο 1 όταν οι τιμές του β τείνουν στο +∞.

Αναμενόμενη αλγεβρική απόδειξη:

Συνάρτηση:   f(x)=αeκx
 Σημείο επαφής: B=(xo,f(xo))
Εξίσωση εφαπτομένης: ψ-f(xo )=ακeκxo(x-xo)
Σημείο τομής με χχ’: χ = (κχo-1) ⁄ κ - β ⁄ (ακeκxo
Τμήμα ΑΔ: (ΑΔ)=∣1 / κ + β  ⁄ (ακeκxo) ∣

Καθώς η τιμή του xo τείνει στο -∞ (xo →-∞) το μήκος ΑΔ τείνει στο +∞ ((ΑΔ)→+∞). Καθώς η τιμή του xo τείνει στο +∞ το μήκος ΑΔ τείνει στο 1 / κ.

Δηλαδή:  lim χ 0 ( ΑΔ ) = + lim from{ χ_{0} rightarrow - infinity } ( ΑΔ )=+ infinity


  • Η "Εκδοχή 2" ( Οι εφαπτόμενες σε δύο σημεία με κοινή τετμημένη των συναρτήσεων  f(x)=αeκx+β και g(x)=γeλx+δ)

    Στο περιβάλλον της εφαρμογής μπορείτε να επιλέξετε διάφορες τιμές για τους 6 δρομείς κ,α,β, λ γ, δ και να διερευνήσετε τι αλλάζει στο τμήμα ΔΕ, που ορίζουν οι εφαπτόμενες των f(x) και g(x) στα σημεία Β και Γ αντιστοίχως με τον άξονα χχ΄.


  • Η περίπτωση κ=1, α=1, β=0, λ=-1, γ=1 και δ=0.

Αναμενόμενες εικασίες: 

  1. Το μήκος του τμήματος ΔΕ παραμένει σταθερό καθώς αλλάζει θέση το σημείο Α και ίσο με 2 μονάδες.
  2. Το σημείο Δ είναι πάντοτε το μέσον του ΔΕ.

Αναμενόμενη αλγεβρική απόδειξη:

Συναρτήσεις:   f(x)=ex και g(x)=e-x
 Σημείο επαφής: B=(xo,f(xo)) και Γ=(xo,g(xo))
Εξισώσεις εφαπτομένων: ψ-f(xo )=exo(x-xo) και
ψ-g(xo )=-e-xo(x-xo)
Σημεία τομής με χχ’: χΔ=(χo-1) και χΕ=(χo+1)
Τμήμα ΕΔ: (ΕΔ)=∣(χo-1)-(χo+1)∣=2
      

Επεκτάσεις

Συνήθως, σε κάθε θέμα που εμπλεκόμαστε δημιουργούνται διάφορα νέα ερωτήματα για νέες διερευνήσεις. Μερικά τέτοια ερωτήματα διατυπώνονται εδώ. Για την διερεύνηση, είτε αυτών είτε άλλων, η παρακάτω εφαρμογή μας επιτρέπει να διερευνήσουμε για τις απαντήσεις, πληκτρολογώντας τις αντίστοιχες συναρτήσεις.

  1. Ισχύει ένα αντίστοιχο με το τελευταίο συμπέρασμα για τις τιμές κ=1, α=1, β=1 και λ=-1, γ=1 και δ=1; 
  2. Ισχύουν ανάλογα με τα παραπάνω συμπεράσματα για άλλες συναρτήσεις, όπως την  f(x)=αln(x)+β

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου