Περι της σχολικής Άλγεβρας

Διδακτικές προσεγγίσεις

1.  Εισαγωγή

 

Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια σύντομη παρουσίαση μερικών απόψεων για την σχολική Άλγεβρα, όπως έχουν καταγραφεί στη διεθνή βιβλιογραφία από τις προηγούμενες δεκαετίες μέχρι σήμερα.


Σκοπός του άρθρου είναι να παρακινηθούν οι αναγνώστες εκπαιδευτικοί του άρθρου να ξανασκεφτούν την σχολική Άλγεβρα και να εντάξουν στις πρακτικές της διδασκαλίας τους νέες ιδέες και νέα εργαλεία.

2. Ο πυρήνας της Άλγεβρας

Στο NCTM Yearbook, The Ideas of Algebra K-12 (1988) ο Usiskin Z.αναφέρει ότι η Άλγεβρα μπορεί να κατανοηθεί ως γενικευμένη αριθμητική, ως μελέτη των διαδικασιών λύσης προβλημάτων, ως μελέτη των σχέσεων μεταξύ των ποσοτήτων και ως μελέτη των δομών.

(Usiskin, Z. (1988). Conceptions of school algebra and uses of variables. In Coxford,. A.F. (Ed.) The ideas of algebra, K-12 (1988 Yearbook of the NCTM).

    Στο NCTM του 2009 η Άλγεβρα αναφέρεται ως το πεδίο των μαθηματικών που μελετά, τις σχέσεις μεταξύ των ποσοτήτων, τη χρήση συμβόλων, την μοντελοποίηση των φαινομένων, και την (μαθηματική) μεταβολή.

    H Kieran C. στο (Kieran C. (2006). Research on the learning and teaching of Algebra, in Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education Past, Present and Future, Gutiιrrez, P. Boero (eds.), Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education: Past, Present and Future. Sense Publishers), αναφέρει την εξέλιξη των αντιλήψεων για την Άλγεβρα όπως αυτή περιγράφεται και συζητείται στις αναφορές του PME.

   Οι Μαθηματικές σχέσεις, τα μοτίβα και οι αριθμητικές δομές βρίσκονται στο επίκεντρο της πρώιμης αλγεβρικής δραστηριότητας, με διαδικασίες όπως της παρατήρησης, της εικασίας,  της γενίκευσης, της αναπαράστασης, της δικαιολόγησης και της επικοινωνίας είναι κεντρικής σημασίας για την εμπλοκή των μαθητών. Ο ρόλος της φυσικής γλώσσας στην ανάπτυξη της πρώιμης αλγεβρικής σκέψης θεωρείται θεμελιώδης. (C. Kieran,  J. Pang, D. Schifter, S. Fong Ng (2016) Early Algebra: Research into its Nature, its Learning, its Teaching (ICME-13 Topical Surveys) 1st ed. 2016 Edition, Springer  [1], [2]).
   Σε κάθε περίπτωση, στον πυρήνα της Άλγεβρας βρίσκονται οι εξισώσεις και οι αλγεβρικές εκφράσεις (αλγεβρικές παραστάσεις), η ισοδυναμία τους και η αλγεβρική σκέψη. Τα υποκείμενα των εξισώσεων, των αλγεβρικών εκφράσεων και της αλγεβρικής σκέψης είναι οι μεταβλητές, οι άγνωστοι, οι σταθερές και η ισοδυναμία των αλγεβρικών αναπαραστάσεων.
   

• Δραστηριότητα στις ισοδύναμες αλγεβρικές παραστάσεις.

Το σύμβολο της ισότητας έχει δύο νοήματα. Εκφράζει το αποτέλεσμα μιας πράξης (3+2=5) ή την ισοδυναμία δύο αλγεβρικών παραστάσεων (π.χ. χ²-1=(χ-1)(χ+1)). Δύο παραστάσεις είναι ισοδύναμες, όταν τα δύο μέλη της ισότητας έχουν την ίδια αριθμητική τιμή για κάθε τιμή της μεταβλητής ή των μεταβλητών. Συνήθως η ισοδυναμία επιτυγχάνεται όταν η μια παράσταση προκύπτει από την άλλη με κατάλληλους μετασχηματισμούς.

[Στο περιβάλλον "Ισοδύναμες αλγεβρικές παραστάσεις" η θέση του σημείου Α στην ευθεία ορίζει την τιμή της μεταβλητής χ. Τα σημεία Μ, Μ_1 και Ν ορίζουν τις τιμές των παραστάσεων χ^2-1, χ^2-χ και (χ-1)(χ-2) σε ευθείες παράλληλες προς την ευθεία του Α. Έτσι μπορεί κάποιος να ελέγξει αν δύο αλγεβρικές παραστάσεις είναι ή δεν είναιο ισοδύναμες. Για τον έλεγχο της ισοδυναμίας των χ²-1 και (χ-1)(χ+1) το παραπάνω περιβάλλον παρουσιάζει μια ένδειξη, προσφέρει μια εικασία. Ο έλεγχος πρέπει να γίνει με καθαρά αλγεβρικά μέσα].

• Περισσότερες πληροφορίες για

1. Τις αλγεβρικές εξισώσεις: [1], [2], [3]
2. Την ισοδυναμία των αλγεβρικών παραστάσεων: [1], [2], [3], [4], [5]
3. Την αλγεβρική σκέψη: [1], [2], [3], [4], [5], [6]
4. Για τις μεταβλητές και τους αγνώστους: [1], [2], [3], [4]

•  Ψηφιακά εργαλεία:

  Λογισμικά με το όνομα CAS (Computer Algebra System) επιτρέπουν στον χρήστη να χρησιμοποιήσει αλγεβρικά εργαλεία για να συντάξει αλγεβρικές παραστάσεις και εξισώσεις και να πάρει αποτελέσματα, όπως τις λύσης της εξίσωσης ή των πράξεων που θέλει. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:

	Ένα CAS δικτυακό λογισμικό για την διαπραγμάτευση στην Άλγεβρα.  Πληκτρολογούμε την εξίσωση και πατάμε enter. Το πρόγραμμα μας επιστρέφει την αλγεβρική έκφραση, την γραφική λύση, άλλες μορφές της εξίσωσης, τις αριθμητικές λύσεις  και την θέση τους στην ευθεία των πραγματικών αριθμών.
	Ένα επίσης καλό CAS λογισμικό για διαπραγμάτευση στην Άλγεβρα.  Πληκτρολογούμε τις εξισώσεις, όπως στο παράδειγμα της ιστοσελίδας και μετά την σχετική εντολή. eq1:x*4+y-2=y; eq2:x+2=y; linsolve([eq1,eq2],[x,y]);

• Δραστηριότητα με CAS εργαλεία    

Το Geogebra παρέχει εργαλεία Αλγεβρικής διαπραγμάτευσης (όψη CAS).  Μπορείτε να πληκτρολογήσετε την παράσταση ή την εξίσωση στο πεδίο εισαγωγής (με το πληκτρολόγιο του υπολογιστή σας ή το εικονικό που υπάρχει στο κάτω μέρος της εφαρμογής) και στη συνέχεια να επιλέξετε ένα από τα διαθέσιμα εργαλεία (με δεξί κλικ πάνω σε αυτά μπορείτε να πληροφορηθείτε τις λειτουργίες τους).

[Μπορείτε (1) να παραγοντοποιήσετε την παράσταση χ^3-χ-2 και να δημιουργήσετε μια παράσταση ισοδύναμη με την αρχική; (2) να κάνετε τις αλγεβρικές πράξεις στην παράσταση (χ-2ψ)*(χ^2-ψ) και να δημιουργήσετε μια παράσταση ισοδύναμη με την αρχική;]

3. Προσεγγίσεις στη διδασκαλία της σχολικής Άλγεβρας

 

Μερικές από τις διδακτικές προσεγγίσεις, που έχουν καταγραφεί μέχρι τώρα, για την σχολική Άλγεβρας είναι οι εξής:

1.   Η προσέγγιση της γενίκευσης

Η προσέγγιση αυτή αφορά δραστηριότητες αριθμητικών και άλλων σχέσεων που απαιτούν γενίκευση των συμπερασμάτων. Δηλαδή τον σχηματισμό εκφράσεων και εξισώσεων - ανισώσεων με τη χρήση εκφράσεων για μεταβλητές και αγνώστους.  

Μία από τις πιο σημαντικές πηγές γενίκευσης είναι τα αριθμητικά μοτίβα. Η χρήση μεγάλων αριθμών που δεν είναι εύκολα υπολογίσιμοι θεωρείται από την R. Zazkis ως καταλύτης για να συνειδητοποιήσουν νεαροί μαθητές γενικότητες που χρειάζονται  για την ολοκλήρωση εργασιών (παράδειγμα).

• Δραστηριότητα με γεωμετρικά μοτίβα: Τα εξάγωνα

Μια ενδιαφέρουσα περίπτωση πηγών γενίκευσης είναι τα γεωμετρικά μοτίβα. Συνήθως ορίζεται μια αρχική ακολουθία σχημάτων και ζητείται να βρεθούν τα επόμενα στη σειρά σχήματα και στη συνέχεια να εκφραστεί ένας κανόνας υπολογισμού της γενικής περίπτωσης.


[Στην παραπάνω εφαρμογή μπορούμε να δημιουργούμε σχήματα, όπως τα 1ο, 2ο, 3ο και 4ο  με δομική μονάδα το κανονικό εξάγωνο. Ζητείται να υπολογιστεί η περίμετρος του κάθε σχήματος με μονάδα μέτρησης την πλευρά του εξαγώνου. Ακόμα ζητείται, με τη βοήθεια του πίνακα τιμών, να εκφραστεί η γενική περίπτωση της περιμέτρου του ν_οστού σχήματος.]

 Βιβλιογραφία:
- Lee, L. (1996). An initiation into algebraic culture through generalisation activities. In N. Bednarz, C. Kieran & L. Lee (eds), Approaches to algebra: Perspectives for research and teaching (pp. 87–106). Dordrecht: Kluwer.
- Mason, J. (1996). Expressing generality and roots of algebra. In  N. Bednarz, C. Kieran, & L. Lee (eds), Approaches to algebra: Perspectives for research and teaching (pp. 65–86). Dordrecht: Kluwer.

-  Zazkis, R. (2001). From arithmetic to algebra via big numbers. In H. Chick, K. Stacey, J. Vincent
& J. Vincent (eds), The future of the teaching and learning of algebra: Proceedings of the 12th ICMI Study Conference (Vol. 2, pp. 676–81). Melbourne: University of Melbourne.

 2.   Η προσέγγιση της λύσης προβλήματος 

Σε όλες τις διδακτικές προσεγγίσεις που προτείνονται εδώ θεωρείται αυτονόητο ότι οι μαθητές εμπλέκονται σε δραστηριότητες οι οποίες λίγο ή πολύ αφορούν προβλήματα ή καταστάσεις. Εδώ αναφερόμαστε στα λεκτικά προβλήματα, που περιγράφουν σχέσεις μεταξύ ποσοτήτων ως μια καλή περίπτωση για την διδασκαλία της Άλγεβρας. Συχνά τα λεκτικά προβλήματα περιγράφουν μια κατάσταση και απαιτείται από τον λύτη να την μετασχηματίσει σε μαθηματικό πρόβλημα, να το λύσει και να διατυπώσει το αποτέλεσμα στην κατάσταση του προβλήματος.

Δραστηριότητα. Η αποθήκη

Η κατάσταση. Μπορείτε να περιγράψετε λεκτικά, πώς μπορεί ο διαχειριστής να υπολογίσει πόσα αντικείμενα από κάθε είδος υπάρχουν στην αποθήκη; Οι μαθητές, αρχικά αναμένεται να χρησιμοποιήσουν λεκτικές όπως (μπάλες) = 2 ( ρακέτες)  και    (ρακέτες)=3(μπαστούνια). Μπορεί όμως να επιλέξουν συντομευμένους όρους όπως (μπ)=2(ρα) και (ρα)=3(χ) ή Μ=μπάλες, Ρ=ρακέτες και μπαστούνια χόκεϋ =Χ και να συμβολίσουν τις δύο σχέσεις ως εξής:  Μ=2Ρ και Ρ=3Χ.  Σύμφωνα με τον Bednarz, N. (2001) η παραπάνω διαδικασία είναι σημαντική για την μετάβαση σε ένα αλγεβρικό συλλογισμό και την κατασκευή νοημάτων γύρω από τον αλγεβρικό συμβολισμό. Το πρόβλημα: Αν υπάρχουν συνολικά 270 αντικείμενα μπορείτε να βρείτε πόσες μπάλες, πόσες ρακέτες και πόσα μπαστούνια υπάρχουν στην αποθήκη;  Έχοντας αναπτύξει ένα καλό αλγεβρικό συμβολισμό με τον οποίο μπορούν να εκφράσουν αλγεβρικά τις σχέσεις που περιγράφονται στην κατάσταση, είναι σε θέση να προχωρήσουν στην λύση ενός σχετικού προβλήματος. Μπορούν δηλαδή, αφού διατυπώσουν τη σχέση Μ+Ρ+Χ=270 να χρησιμοποιήσουν τις αλγεβρικές σχέσεις της κατάστασης Μ=2Ρ και Ρ=3Χ και να έχουν την εξίσωση 2Ρ+Ρ+Χ=270 ή 2(3Χ)+3Χ+Χ=270 ή 10Χ=270 ή Χ=27 και άρα Ρ=81 και Μ=162.

Μια διδακτική πρόταση που μπορεί να προκύψει στο πλαίσιο αυτής της προσέγγιση αφορά την εισαγωγή για μελέτη μιας προβληματικής κατάστασης, όπου (1) ζητείται οι σχέσεις μεταξύ των μεγεθών μπορούν να διατυπωθούν με λεκτικό και συμβολικό τρόπο και (2) οι σχέσεις αυτές να μπορούν να αξιοποιηθούν στη λύση σχετικών μαθηματικών προβλημάτων.    

 Βιβλιογραφία: 
-   Bell, A. (1996). Problem-solving approaches to algebra: Two aspects. In N. Bednarz, C. Kieran & L. Lee (eds), Approaches to algebra: Perspectives for research and teaching (pp. 167–85). Dordrecht: Kluwer.
-   Bednarz, N. (2001). A problem-solving approach to algebra: Accounting for the reasonings and notations developed by students. In H. Chick, K. Stacey, J. Vincent & J. Vincent (eds), The future of the teaching and learning of algebra: Proceedings of the 12th ICMI Study Conference (Vol. 1, pp. 69–78). Melbourne: University of Melbourne.

3.   Η ιστορική προσέγγιση

 Το ιστορικό πλαίσιο μας παρέχει ιδέες για το πέρασμα από την αριθμητική στην άλγεβρα. Ερωτήματα όπως, πώς έλυναν εξισώσεις οι αρχαίοι λαοί, και τι νόημα έδιναν στα σύμβολα που χρησιμοποιούσαν. Οι  Radford, L. & Grenier, M. (1996) μελετώντας την μεσαιωνική Άλγεβρα ανέπτυξαν μια διδακτική πρόταση τριών φάσεων, όπου στην πρώτη φάση της διδασκαλίας, οι μαθητές κλήθηκαν να λύσουν λεκτικά προβλήματα χρησιμοποιώντας χειριστικά υλικά που ενσάρκωναν κρυφές ποσότητες (= άγνωστοι κατά τον Antonio de Mazzinghi - 14ος αιώνας). Στη δεύτερη φάση, τα χειριστικά υλικά αντικαταστάθηκαν από σχέδια, ενώ στην τρίτη φάση οι μαθητές χρησιμοποίησαν γράμματα στη θέση των σχεδίων για να συμβολίσουν τις άγνωστες ποσότητες.

Βιβλιογραφία:  
-  an Ameron, B.A. (2002). Reinvention of early algebra: Developmental research on the transition from arithmetic to algebra. Utrecht.
-  Puig, L. & Rojano, T. (2004). The history of algebra in mathematics education. In K. Stacey, H. Chick & M. Kendal (eds), The teaching and learning of algebra: The 12th ICMI study (pp. 189–224). Norwell, MA: Kluwer.
-  Radford, L. & Grenier, M. (1996). On the dialectical relationships between symbols and algebraic ideas. In L. Puig & A. Gutierrez (eds), Proceedings of the 20th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp. 179–86). Valencia: PME.

 4.  Η συναρτησιακή προσέγγιση.

Εδώ και αρκετές δεκαετίες διατυπώνονται απόψεις για τον ρόλο της συνάρτησης στην διδασκαλία της Άλγεβρας. Οι Yerushalmy, M. & Schwartz, J.L. (1993) διατυπώνουν την άποψη ότι η έννοια της συνάρτησης ανήκει στον πυρήνα της Άλγεβρας. Μια τέτοια προσέγγιση καθιστά την έννοια της συνάρτησης ως μια κεντρική έννοια και την θέτει στο κέντρο του προγράμματος σπουδών της Άλγεβρας από τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού. Σε αυτό το πλαίσιο οι εκφράσεις, οι εξισώσεις και οι αλγεβρικοί συμβολισμοί αποκτούν νέο νόημα, με τη βοήθεια των διαδραστικών τεχνολογιών, των δυνατοτήτων μοντελοποίησης και των πολλαπλών αναπαραστάσεων.

• Το μεγάλο τρίγωνο και η εξέλιξή του στην εποχή της ψηφιακής τεχνολογίας

 

 Οι τρεις αναπαραστάσεις που χρησιμοποιούνται συχνά στην διαπραγμάτευση των συναρτήσεων συμβάλουν σημαντικά στην ανάπτυξη νοημάτων για την Άλγεβρα. Οι Nemirovsky (1996) και Confrey και Smith (1994) θεωρούν ότι οι τρεις αναπαραστάσεις είναι μέρος της Άλγεβρας και μπορούν να υποστηρίξουν την μαθηματικοποίηση των φαινομένων είτε σχηματίζοντας μια αντιστοιχία εισόδου-εξόδου μεταξύ δύο ποσοτήτων, ή με ανάλυση του ρυθμού μεταβολής ως συμμεταβολή των εξαρτώμενων και ανεξάρτητων ποσοτήτων.    

Δραστηριότητα

Η εφαρμογή που ακολουθεί αναφέρεται σε ένα γεωμετρικό φαινόμενο - στην μεταβολή του εμβαδού ισοσκελούς τριγώνου με σταθερές τις ίσες πλευρές, σε σχέση με τη βάση του. Μπορείτε να σύρετε το σημείο Β και να μεταβάλλετε το μήκος της βάσης του παρατηρώντας τις μεταβολές του εμβαδού του. Μπορείτε ακόμα να επιλέξετε το κουμπί "συνάρτηση" και να διαπραγματευτείτε την αλγεβρική έκφραση της σχέσης (βάση , εμβαδόν) στο χαρτί σας παρατηρώντας ταυτόχρονα την καμπύλη της συνάρτησης και να εγγράψετε τιμές της στον πίνακα τιμών. Την αλγεβρική σχέση μπορείτε να την εισάγετε στην "Εισαγωγή" στο κάτω μέρος της εφαρμογής πληκτρολογώντας την εντολή    Συνάρτηση[ Αλγεβρική σχέση, 0, 100 ] . Τέλος μπορείτε να λύσετε εξισώσεις και ανισώσεις επιλέγοντας το σχετικό κουμπί και την "βοήθεια" αν χρειαστεί.  


[ Στο πλαίσιο της παραπάνω εφαρμογής μπορεί να ζητηθεί από τους μαθητές (1) να μελετήσουν την μεταβολή του εμβαδού σε σχέση με την μεταβολή του μήκους της βάσης,  (2) να εκφράσουν τη σχέση (βάση, εμβαδόν) αλγεβρικά στο χαρτί (με τη βοήθεια του πίνακα τιμών και του γραφήματος) και (3) να λύσουν εξισώσεις και ανισώσεις γύρω από αυτή.]  

Μια διδακτική πρόταση που προκύπτει στο πλαίσιο της συναρτησιακής προσέγγισης μπορεί να έχει την εξής δομή:
(1) Τίθενται ερωτήματα σχετικά με την σχέση δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων στο πλαίσιο ενός φαινομένου. (2) Ζητείται η αλγεβρική έκφραση της σχέσης και των μεταβολών με τη βοήθεια της μελέτης αριθμητικών και γραφικών δεδομένων. (3) Τέλος ζητείται η λύση εξισώσεων, ανισώσεων και συστημάτων αλγεβρικά και γραφικά. 
Μια διαδρομή που προτείνεται στο Yerushalmy, M. (2000) είναι (1) προσέγγιση της έννοιας μέσω της μοντελοποίησης, (2) χειρισμός εκφράσεων των συναρτήσεων (εξισώσεις ανισώσεις) και (3) διερεύνηση των οικογενειών των συναρτήσεων.



 Βιβλιογραφία: 
-   Yerushalmy, M. (2000). Problem solving strategies and mathematical resources: A longitudinal view on problem solving in a function-based approach to algebra. Educational Studies in Mathematics, 43, 125–47.
-   Yerushalmy, M. & Schwartz, J.L. (1993). Seizing the opportunity to make algebra mathematically and pedagogically interesting. In T.A.Romberg, E. Fennema & T.P. Carpenter (eds), Integrating research on the graphical representation of functions (pp. 41–68). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
-  Confrey, J. and Smith, E. (1994). ‘Exponential functions, rates of change and the multiplicative unit’, Educational Studies in Mathematics (26), 135–164.
-  Nemirovsky, R. (1996). ‘A functional approach to algebra: Two issues that emerge’, in N. Bednarz, C. Kieran and L. Lee (eds.), Approaches to Algebra: Perspectives for Research and Teaching, Dordrecht, The Netherlands, Kluwer, pp. 295–313.
-  Yerushalmy, M. (2015). Designing for Inquiry in School Mathematics. Educational Designer 

-   Arzarello, F. & Robutti, O. (2003). Approaching algebra through motion experience. In N.A. Pateman, B.J. Dougherty & J.T. Zilliox (eds), Proceedings of the 27th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 111–15). Honolulu: PME.
-  Borba, M.C. & Scheffer, N. (2003). Sensors, body, technology and multiple representations. In
N.A. Pateman, B.J. Dougherty & J.T. Zilliox (eds), Proceedings of the 27th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 121–8). Honolulu: PME.
-   Rasmussen, C. & Nemirovsky, R. (2003). Becoming friends with acceleration: The role of tools and bodily activity in mathematical learning. In N.A. Pateman, B.J. Dougherty & J.T. Zilliox (eds), Proceedings of the 27th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 127–34). Honolulu, HI: PME.

 5. Αλγεβρικές δραστηριότητες

Οι δραστηριότητες στις οποίες εμπλέκονται οι μαθητές και απαιτούν τη χρήση αλγεβρικών δομών, αλγεβρικών συμβολισμών και αλγεβρικής σκέψης ονομάζονται αλγεβρικές δραστηριότητες. Μια κατηγοριοποίηση αυτών προφανώς προκύπτει στο πλαίσιο των διδακτικών προσεγγίσεων που αναφέρθηκαν παραπάνω. Μια πιο λεπτομερής κατηγοριοποίηση που αναφέρεται στο Κieran C. (2004) είναι η παρακάτω:

Τύποι αλγεβρικών δραστηριοτήτων
Παραγωγής (generational) (:τυποποίηση των εκφράσεων και των εξισώσεων):
Εξισώσεις που περιέχουν έναν άγνωστο και αναπαριστούν καταστάσεις , εκφράσεις γενίκευσης που προκύπτουν από γεωμετρικά μοτίβα ή αριθμητικές ακολουθίες, εκφράσεις κανόνων που ορίζουν αριθμητικές σχέσεις.
Μετασχηματισμών,
Πράξεις και παραγοντοποίηση πολυωνύμων, δυνάμεις με πολυώνυμα, λύση εξισώσεων, απλοποίηση εκφράσεων, ισοδυναμία εκφράσεων και εξισώσεων κ.ά.
Σφαιρικές/meta-level (: η Άλγεβρα χρησιμοποιείται ως εργαλείο)
Επίλυση προβλήματος, μοντελοποίηση, παρατήρηση δομής, μελέτη των μεταβολών, γενίκευση, ανάλυση σχέσεων, δικαιολόγηση, παρουσίαση αποδείξεων και πρόβλεψη.


Βιβλιογραφία: 

-   Kieran C. (2004). The development of algebraic thinking and symbolization. In ICME-10 session on PME research in Algebra, Copenhagen, 2004) 

-     Hewitt D. (2011) What is algebraic activity? Consideration of 9-10 year olds learning to solve linear equations. European Society for Research in Mathematics

Περισσότερες βιβλιογραφικές αναφορές για την σχολική Άλγεβρα

1. Center of Algebra Thinking References
2. Άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη.